Aloha :)
Ich habe zwar keine pädagogische Ausbildung, schreibe aber trotzdem mal auf, wie ich den binomishchen Lehrsatz einführen würde...
1) Binomialkoeffizient über seine Bedeutung einführen
Beispiel 1: Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus der Menge \(\{A,B,C,D\}\) ein Objekte auszuwählen? Antworten der Schüler einsammeln: \(A,B,C,D\).
Beispiel 2: Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus der Menge \(\{A,B,C,D\}\) zwei verschiedene Objekte auszuwählen? Antworten der Schüler einsammeln: \(AB,AC,AD,BC,BD,CD\).
Schreibweise einführen: \(\binom{n}{k}\) ist die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, aus \(n\) Objekten genau \(k\) auszuwählen. Man sagt für \(\binom{n}{k}\) oft "k aus n" oder im Englischen "n choose k" (=> Hinweis auf Taste [nCr] für "n Choose r" auf dem Taschenrechner, Schüler eventuell 4nCr1 und 4nCr2 nachrechnen lassen.)
Ergebnis der Beispiele in neuer Schreibweise festhalten: \(\binom{4}{1}=4\quad;\quad\binom{4}{2}=6\).
2) Besonderheiten besprechen
\(\underline{\binom{n}{n}=1}\), denn es gibt genau 1 Möglichkeit, um alle Elemente auszuwählen.
\(\underline{\binom{n}{0}=1}\), denn es gibt genau 1 Möglichkeit, kein Element auszuwählen. Vielleicht hier ein Hinweis auf die Megenlehre, dass die leere Menge auch eine Menge ist.
3) Bildungsgesetze für den Binomialkoeffizenten herleiten
Wir haben \(n\) Objekte in einer Menge \(M\). Es gibt \(\binom{n}{k}\) Möglichkeiten, daraus genau \(k\) Elemente auszuwählen. Wie ändert sich diese Anzahl, wenn wir die Menge \(M\) um ein weiteres Objekt auf \(n+1\) Objekte erweitern? Was ist also \(\binom{n+1}{k}\)?
1. Fall: Das neue Element wird nicht ausgewählt. Dann müssen alle \(k\) Elemente aus den bisherigen \(n\) Elementen gewählt werden. Dafür gibt es \(\binom{n}{k}\) Möglichkeiten.
2. Fall: Das neue Element wird ausgewählt. Dann müssen nur noch \(k-1\) Elemente aus den bisherigen \(n\) Elementen ausgewählt werden. Dafür gibt es \(\binom{n}{k-1}\) Möglichkeiten.$$\Rightarrow\quad\underline{\binom{n+1}{k}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}}$$
Beispiel 3: Aus der Menge \(\{A,B,C,D,E\}\) sollen 2 Elemente gewählt werden. Antworten der Schüler einsammeln: AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE. Darauf hinweisen, dass es 10 Möglichkeiten sind. Das Bildungsgesetz nachrechnen:$$10=\binom{5}{2}=\binom{4}{2}+\binom{4}{1}=6+4$$
4) Pascal'sches Dreieck erklären
Das in (3) gefundene Bildungsgesetz im Pascal'schen Dreieck festigen: "Die beiden darüber stehenden Zahlen werden addiert."$$\begin{array}{c}1\\1 \;\; 1 \\ 1 \;\; 2 \;\; 1\\ 1 \;\; 3 \;\; 3 \;\; 1\\ 1 \;\; 4 \;\; 6 \;\; 4 \;\; 1\\ 1 \;\; 5 \;\; 10 \;\; 10 \;\; 5 \;\; 1\end{array}\quad\quad\begin{array}{c}\binom{0}{0}\\\binom{1}{0} \;\; \binom{1}{1} \\ \binom{2}{0} \;\; \binom{2}{1} \;\; \binom{0}{2}\\ \binom{3}{0} \;\; \binom{3}{1} \;\; \binom{3}{2} \;\; \binom{3}{3}\\ \binom{4}{0} \;\; \binom{4}{1} \;\; \binom{4}{2} \;\; \binom{4}{3} \;\; \binom{4}{4}\\ \binom{5}{0} \;\; \binom{5}{1} \;\; \binom{5}{2} \;\; \binom{5}{3} \;\; \binom{5}{1} \;\; \binom{5}{0}\end{array}$$Jetzt kannst du noch auf die Symmetrie hinweisen, dass man die Zeilen im Pascal'schen Dreieck von links nach rechts oder umgekehrt lesen kann:$$\underline{\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}}$$
5) Formeln zur schnelleren Berechnung herleiten (eventuell als Hausaufgabe?)
Führe die "bekannte" Form des Binomialkoeffizienten ein: \(\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}\)
Zeige, dass die rechte Seite alle unsere bisher gefundenen Zusammenhänge korrekt beschreibt:
$$\binom{n}{0}=\frac{n!}{0!\cdot(n-0)!}=\frac{n!}{1\cdot n!}=1$$$$\binom{n}{n}=\frac{n!}{n!\cdot(n-n)!}=\frac{n!}{n!\cdot1}=1$$$$\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}+\frac{n!}{(k-1)!\cdot(n-(k-1))!}$$$$\phantom{\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}}=\frac{n!}{k\cdot(k-1)!\cdot(n-k)!}+\frac{n!}{(k-1)!\cdot(n+1-k)\cdot(n-k)!}$$$$\phantom{\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}}=\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{n+1-k}\right)\frac{n!}{(k-1)!\cdot(n-k)!}$$$$\phantom{\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}}=\frac{n+1}{k\cdot(n+1-k)}\cdot\frac{n!}{(k-1)!\cdot(n-k)!}$$$$\phantom{\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}}=\frac{(n+1)\cdot n!}{k\cdot(k-1)!\cdot(n-k)!\cdot(n+1-k)}$$$$\phantom{\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}}=\frac{(n+1)!}{k!\cdot((n+1)-k)!}=\binom{n+1}{k}$$$$\binom{n}{n-k}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot(n-(n-k))!}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}=\binom{n}{k}$$
6) Binomischen Lehrsatz erklären
$$(a+b)^n=\underbrace{(a+b)\cdot(a+b)\cdot(a+b)\cdots(a+b)}_{n\text{ Faktoren}}$$Beim Ausmultiplizieren mittels des Distributivgesetzes wird aus jeder Klammer entweder ein \(a\) oder ein \(b\) genommen. So erhalten wir \(n\) Faktoren, die miteinader multipliziert werden. Dabei treten folgende Produkte auf:$$a^n\;,\;a^{n-1}b\;,\;a^{n-2}b^2\;,\;a^{n-3}b^3\;,\;\ldots\;,\;a^2b^{n-2}\;,\;ab^{n-1}\;,\;b^n$$Mittels des Binomialkoeffizienten können wir bestimmen, wie oft jedes dieser Produkte auftaucht. \(a^n\) erhalten wir nur, wenn wir aus jeder Klammer ein \(a\) auswählen. Dafür gibt es \(\binom{n}{0}=1\) Möglichkeit. \(a^{n-1}b\) erhalten wir, wenn wir aus genau einer der \(n\) Klammern ein \(b\) auswählen und aus allen anderen Klammern ein \(a\). Dafür gibt es \(\binom{n}{1}=n\) Möglichkeiten. \(a^{n-2}b\) erhalten wir, wenn wir aus genau zwei der \(n\) Klammern ein \(b\) auswählen und aus allen anderen Klammern ein \(a\). Dafür gibt es \(\binom{n}{2}\) Möglichkeiten... Diese Feststellung fassen wir im binomischen Lehrsatz zusammen:$$(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$$Als Beispiel würde ich \((a+b)^3\) zunächst mit dem Pascal'schen Dreieck und dem binomischen Lehrsatz hinschreiben und danach explizit ausrechnen, damit die Schüler sehen, dass dasselbe Ergebnis rauskommt.
7) Induktionsbeweis des binomischen Lehrsatzes (eventuell als Hausaufgabe)
Obwohl der binomische Lehrsatz, so wie er hier eingeführt wurde, völlig offensichtlich ist, könnte man ihn noch mittels vollständiger Induktion beweisen. Aber vermutlich wird dafür die Zeit im Unterricht nicht mehr reichen. Daher kannst du das vielleicht als Hausaufgabe aufgeben...
