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Aufgabe:

Montonie und Extremstelle von f(x) = (x-ex)/(x) berechnen


Lösungsversuch:

f(x)=xexx f(x)=\frac{x-e^{x}}{x}
xex=0x=exln(1)=exex=0 \begin{array}{l} {x-e^{x}=0} \\ {x=e^{x}} \\ {\ln (1)=e x} \\ {e^{x}=0} \end{array}

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Ach Anna,

du musst doch die erste Ableitung bilden und die Null setzen, um das Extremum zu bestimmen.

f(x)=xexxf(x)=\frac{x-e^x}{x}

f(x)=(1ex)x(xex)1x2=ex(1x)x2 f'(x)=\frac{(1-e^x)\cdot x-(x-e^x)\cdot 1}{x^2}=\frac{e^x(1-x)}{x^2}

Die Extremstelle liegt also bei x=1.


Nun gucken wir mal die Kurve an:


Zur Untersuchung der Monotonie brauchen wir aber auch noch die Definitionslücken.

Polstelle bei x=0.

Nun musst du noch die erste Ableitung für x<0, für 0<x<1 und für x>1 untersuchen.

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