Montonie und Extremstelle von f(x) = (x-ex)/(x) berechnen

Question

Aufgabe:

Montonie und Extremstelle von f(x) = (x-e^x)/(x) berechnen

Lösungsversuch:

$f(x)=\frac{x-e^{x}}{x}$
$$\begin{array}{l} {x-e^{x}=0} \\ {x=e^{x}} \\ {\ln (1)=e x} \\ {e^{x}=0} \end{array}$$

Answer 1

Ach Anna,

du musst doch die erste Ableitung bilden und die Null setzen, um das Extremum zu bestimmen.

$$f(x)=\frac{x-e^x}{x}$$

$$f'(x)=\frac{(1-e^x)\cdot x-(x-e^x)\cdot 1}{x^2}=\frac{e^x(1-x)}{x^2}$$

Die Extremstelle liegt also bei x=1.

Nun gucken wir mal die Kurve an:

Zur Untersuchung der Monotonie brauchen wir aber auch noch die Definitionslücken.

Polstelle bei x=0.

Nun musst du noch die erste Ableitung für x<0, für 0<x<1 und für x>1 untersuchen.