Bestimmen Sie eine Basis von ker(f) und im(f)

Question

Aufgabe:

Es sei die lineare Abbildung \( f: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) mit \( f(x):=A x \) gegeben, wobei
$$ A:=\left(\begin{array}{llll} {1} & {4} & {7} & {10} \\ {2} & {5} & {8} & {11} \\ {3} & {6} & {9} & {12} \end{array}\right) $$

a) Bestimmen Sie eine Basis von ker(f).

b) Bestimmen Sie eine Basis von im(f).

Folgendes Problem:

Ich bin für a) auf folgende Matrix mithilfe des Gauß-Algorithmus gestoßen:

1 4 7 10
0 1 2 3
0 0 0 0

Ansatz: ein LGS erstellen:

x1+4x^2+7x^3+10x^4 = 0
x2 = -2x^3-3x^4

aber es sind viele Unbekannte. Hat jemand einen Tipp, wie ich das lösen kann?

Comments

Duplikat von

https://www.mathelounge.de/692571/r4-r3-kern-und-bild

Answer 1

Du hast 4 Variable und nur 2 lin. unabh. Gleichungen.

Da kannst du 2 frei wählen, etwa x3=s und x4=t und bekommst

dann x2=  -2s -3t

Alles einsetzen in

x1+4x2+7x3+10x4=0 gibt

x1 = -4(-2s-3t) -7s - 10t  =  s + 2t

also sehen die Elemente im Kern so aus

(   s + 2t  ;  -2s -3t  ; s ; t )

= s*( 1 ; -2 ; 1 ; 0 ) + t* ( 2 ; -3 ; 0 ; 1 )

und damit ist {( 1 ; -2 ; 1 ; 0 ) , ( 2 ; -3 ; 0 ; 1 ) }

eine Basis des Kerns.

Comments

Ich hätte eine Frage, wieso hat man x3 und x4 gewählt? Hätte ich auch eine andere Kombination wählen können? Wie komme ich überhaupt drauf, dass ich Variablen frei auswählen kann.

Hat es mit dem Freiheitsgrad der Matrix zu tun?

( hatte mir schon Gedanken gemacht :

Freiheitsgrad =Defekt der Matrix

Def(A)=Rang(A)-Dim(ker(A))

Also def(a)=|2-4|=2

Also 2 frei wählbare Variablen? Oder gibt es ein anderen Trick dafür??

---

Alles gut durchschaut.

Wenn du die anderen Wählst ( etwa x1 und x2 , musst du was mehr rechnen.

Wenn man mit dem Gauss-Alg. die Stufenform erreicht hat, fängt man meistens unten an

und schaut welche noch nicht bestimmt sind.

Bei dir waren das x3 und x4 , die braucht am um x2 zu bestimmen. etc.

Answer 2

Aloha :)

Schreibe neben die Matrix \(A\) eine Einheitsmatrix mit genauso vielen Spalten wie \(A\) hat. Dann bringe die Matrix \(A\) durch elementare Spaltenumformungen auf Dreieckform und führe dieselben Schritte an der Einheitsmatrix durch:

$$\left(\begin{array}{c}{} & {-4S_1} & {-7S_1} & {-10S_1} \\1 & 4 & 7 & 10\\2 & 5 & 8 & 11\\3 & 6 & 9 & 12\end{array}\right)\quad\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c}{} & {} & {-2S_2} & {-3S_2} \\1 & 0 & 0 & 0\\2 & -3 & -6 & -9\\3 & -6 & -12 & -18\end{array}\right)\quad\left(\begin{array}{c}1 & -4 & -7 & -10\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0 & 0\\2 & -3 & 0 & 0\\3 & -6 & 0 & 0\end{array}\right)\quad\left(\begin{array}{c}1 & -4 & 1 & 2\\0 & 1 & -2 & -3\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$Die von Null verschiedenen Spalten aus der ersten Matrix sind eine Basis des Bildes. Die zu den Null-Spalten der ersten Matrix korrespondierenden Spalten der zweiten Matrix sind eine Basis des Kerns:$$\text{Bild}(A)=\left(\,\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}\right)\,\right)\quad;\quad\text{Kern}(A)=\left(\,\left(\begin{array}{c}1\\-2\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\-3\\0\\1\end{array}\right)\,\right)$$

Comments

Danke dir aber kann ich das auch ohne dieses Verfahren ( hab nämlich schon den Gauß benutzt )

Könnte ich es aus dieser Matrix eventuell ablesen:

1 0 -1 -2

0 1 2 3

0 0 0 0

( hab es nochmal ( die Matrix) verkürzen können)