Basis von Ker(A) angeben

Question

A = \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 2 & -1  \end{pmatrix} \)

Geben Sie eine Basis von Ker(A) an.

Answer 1

Auf Zeilenstufenform gebracht

\(Rref_{Ab} \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrrr}1&0&\frac{-3}{2}&1&0\\0&1&\frac{1}{2}&0&0\\0&0&0&0&0\\\end{array}\right)\)

und mit

{x3 = t_1, x4 = t_2}

ist der Kern für

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}1&1&-1&1\\0&2&1&0\\-1&1&2&-1\\\end{array}\right)\, \left(\begin{array}{r}\frac{3}{2} \; t_1 - t_2\\\frac{-1}{2} \; t_1\\t_1\\t_2\\\end{array}\right)= \left(\begin{array}{r}0\\0\\0\\\end{array}\right) \)

mit der Basis

\(\small kern_A \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}\frac{-3}{2}&1\\\frac{1}{2}&0\\-1&0\\0&-1\\\end{array}\right)\)

Answer 2

Hallo

du bestimmst A*x=0 die Anzahl der lin unabhängigen Lösungen ist dann eine Basis

da du nur 2 lin unabhängige Zeilenvektoren hast also 2 Gleichungen für 4 Unbekannte kannst du  ja leicht ein paar Lösungen am besten mit vielen Nullen  (je 2 pro Lösungsvektor ) finden

lul

Comments

ist \( \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} -1\\0\\0\\1 \end{pmatrix} \) eine Lösung für Ker(A)?

---

Hallo u kannst die doch selbst in die 2 Zeilen einsetzen und sehen, dass dein erster Vektor die zweite Zeile=0 nicht erfüllt?

Gruß lul