Geben Sie eine Basis von Ker(A)

Question

Aufgabe:

Gegeben Sei die folgende Matrix:
A =


1 0 1 1
0 1 1 1
−1 1 0 0

.
Geben Sie eine Basis von Ker(A) an.

Problem/Ansatz:

wie geht das

Answer 1

Aloha :)

Der Kern enthält alle Vektoren, die an die Matrix multipliziert den Nullvetkor ergeben:

$$\begin{array}{rrrr|r|l}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & = & \text{Operation}\\\hline1 & 0 & 1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1 & 1 & 0\\-1 & 1 & 0 & 0 & 0 & +Z_1\\\hline1 & 0 & 1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1 & 1 & 0 & -Z_2\\\hline1 & 0 & 1 & 1 & 0 & \Rightarrow x_1+x_3+x_4=0\\0 & 1 & 1 & 1 & 0 & \Rightarrow x_2+x_3+x_4=0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \checkmark\end{array}$$

Wir stellen die beiden gefundenen Bedingungsgleichungen nach der vordersten Variablen um:$$x_1=-x_3-x_4\quad;\quad x_2=-x_3-x_4$$und geben alle Vektoren des Kerns an:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x_3-x_4\\-x_3-x_4\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=x_3\underbrace{\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\\0\end{pmatrix}}_{=\vec k_1}+x_4\underbrace{\begin{pmatrix}-1\\-1\\0\\1\end{pmatrix}}_{=\vec k_2}$$

Die beiden Vektoren \(\vec k_1\) und \(\vec k_2\) bilden eine Basis des Kerns.