Matrix Aufgabe verstehen

Question

Aufgabe: Sei a ∈ R beliebig fixiert.

Matrix:

A = a 1 0 0

       0 a 1 0

       0 0 a 1

       0 0 0 a

a) Berechnen Sie die Matrizen A^i := A·A·····A (i-mal) für i ∈ {2,3,4}.

b) Sei nun a = 0. Bestimmen Sie den Rang (A^i) und den Kern (A^i) für i ∈ {2,3,4}.

Problem: ich versteh nicht wirklich was bei a) gemeint ist, damit ich b) auch nachvollziehen kann.

Answer 1

Du sollst die Potenzen von der Matrix A ermitteln.

[a, 1, 0, 0; 0, a, 1, 0; 0, 0, a, 1; 0, 0, 0, a]^2 = [a^2, 2·a, 1, 0; 0, a^2, 2·a, 1; 0, 0, a^2, 2·a; 0, 0, 0, a^2]

[a, 1, 0, 0; 0, a, 1, 0; 0, 0, a, 1; 0, 0, 0, a]^3 = [a^3, 3·a^2, 3·a, 1; 0, a^3, 3·a^2, 3·a; 0, 0, a^3, 3·a^2; 0, 0, 0, a^3]

[a, 1, 0, 0; 0, a, 1, 0; 0, 0, a, 1; 0, 0, 0, a]^4 = [a^4, 4·a^3, 6·a^2, 4·a; 0, a^4, 4·a^3, 6·a^2; 0, 0, a^4, 4·a^3; 0, 0, 0, a^4]

Weißt du wie du zwei Matrizen miteinander multiplizierst? Ich empfehle das Falksche Schema dafür.

A^2 = A * A

Du brauchst A also zuerst nur mit sich selbst zu multiplizieren. Dann solltest Du A^2 nachvollziehen und dann A^3 berechnen.

Answer 2

Aloha :)

$$A=\left(\begin{array}{c}a & 1 & 0 & 0\\0 & a & 1 & 0\\0 & 0 & a & 1\\0 & 0 & 0 & a\end{array}\right)$$$$A^2=\left(\begin{array}{c}a & 1 & 0 & 0\\0 & a & 1 & 0\\0 & 0 & a & 1\\0 & 0 & 0 & a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a & 1 & 0 & 0\\0 & a & 1 & 0\\0 & 0 & a & 1\\0 & 0 & 0 & a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a^2 & 2a & 1 & 0\\0 & a^2 & 2a & 1\\0 & 0 & a^2 & a\\0 & 0 & 0 & a^2\end{array}\right)$$$$A^3=A^2\,A=\left(\begin{array}{c}a^2 & 2a & 1 & 0\\0 & a^2 & 2a & 1\\0 & 0 & a^2 & a\\0 & 0 & 0 & a^2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a & 1 & 0 & 0\\0 & a & 1 & 0\\0 & 0 & a & 1\\0 & 0 & 0 & a\end{array}\right)$$$$\phantom{A^3}=\left(\begin{array}{c}a^3 & 3a^2 & 3a & 1\\0 & a^3 & 3a^2 & 3a\\0 & 0 & a^3 & 3a^2\\0 & 0 & 0 & a^3\end{array}\right)$$$$A^4=A^2\,A^2=\left(\begin{array}{c}a^2 & 2a & 1 & 0\\0 & a^2 & 2a & 1\\0 & 0 & a^2 & a\\0 & 0 & 0 & a^2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a^2 & 2a & 1 & 0\\0 & a^2 & 2a & 1\\0 & 0 & a^2 & a\\0 & 0 & 0 & a^2\end{array}\right)$$$$\phantom{A^4}=\left(\begin{array}{c}a^3 & 4a^2 & 6a & 4\\0 & a^3 & 4a^2 & 6a\\0 & 0 & a^3 & 4a^2\\0 & 0 & 0 & a^3\end{array}\right)$$

In Teil (b) sollst du \(a=0\) setzen und dir überlegen, wie der Kern der Matrix aussieht und welche Dimension das Bild hat:$$\text{Kern}(A^2)_{a=0}=\text{Kern}\left(\begin{array}{c}0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)=\{(x_1,x_2,0,0)\,:\,x_1,x_2\in\mathbb{R}\}$$Die erste Spalte wird mit \(x_1\) multipliziert, die zweite Spalte wird mit \(x_2\) multipliziert. Das ergibt stets \(0\). Daher kann man den Kern sofort ablesen. Zum Bild tragen nur \(x_3\) und \(x_4\) bei. Die Dimension des Bildes ist \(2\).

$$\text{Kern}(A^3)_{a=0}=\text{Kern}\left(\begin{array}{c}0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)=\{(x_1,x_2,x_3,0)\,:\,x_1,x_2,x_3\in\mathbb{R}\}$$Die erste Spalte wird mit \(x_1\) multipliziert, die zweite Spalte wird mit \(x_2\) multipliziert, die dritte mit \(x_3\). Das ergibt stets \(0\). Zum Bild trägt nur \(x_4\) bei. Die Dimension des Bildes ist \(1\).

$$\text{Kern}(A^4)_{a=0}=\text{Kern}\left(\begin{array}{c}0 & 0 & 0 & 4\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)=\{(x_1,x_2,x_3,0)\,:\,x_1,x_2,x_3\in\mathbb{R}\}$$Die erste Spalte wird mit \(x_1\) multipliziert, die zweite Spalte wird mit \(x_2\) multipliziert, die dritte mit \(x_3\). Das ergibt stets \(0\). Zum Bild trägt nur \(x_4\) bei. Die Dimension des Bildes ist \(1\).