Zu folgender Aufgabe habe ich eine Lösung vor mir liegen, verstehe den Rechenweg jedoch nicht, vielleicht kann mir ja jemand beim Verständnis weiterhelfen.
Aufgabe: Es seien \(K\) ein Körper, \(p\in\mathbb{N},A\in GL_p(K)\) und \(u,v\in K^p\). Weiter bezeichne \(I\) die \(p\times p -\)Einheitsmatrix. Zeigen Sie, dass $$\begin{pmatrix} I & 0 \\ v^T & 1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}I+uv^T & u \\ 0 & 1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}I & 0 \\ -v^T & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}I & u \\ 0 & 1+v^Tu\end{pmatrix}$$ und schlussfolgern Sie, dass \(det(A+uv^T)=(1+v^TA^{-1}u)*det(A)\).
Die Lösung, die ich nicht verstehe sieht wie folgt aus:
$$\begin{pmatrix} I & 0 \\ v^T & 1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}I+uv^T & u \\ 0 & 1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}I & 0 \\ -v^T & 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}I*(I+uv^T) & I*u \\v^T*(I+uv^T) & v^Tu\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}I & 0\\-v^T&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}I+uv^T&u\\v^T+v^Tuv^T&v^Tu\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}I & 0\\-v^T&1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}(I+uv^T)I-uv^T&u\\(v^T+v^Tuv^T)I-v^Tuv^T&v^Tu\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}I&u\\v^T&v^Tu\end{pmatrix}$$
Insbesondere ist also \(det\begin{pmatrix}I+uv^T&u\\0&1\end{pmatrix}=(1+v^Tu)*det\begin{pmatrix}I&u\\ &1\end{pmatrix}\)
\((*)=(1+v^Tu)\) für alle \(u,v\).
Also ist \(det(A+uv^T)=det\begin{pmatrix}A+uv^T&u\\0&1\end{pmatrix}\)
\(=det\begin{pmatrix}A& \\ &1\end{pmatrix}*det\begin{pmatrix}I+A^{-1}uv^T&A^{-1}u\\0&1\end{pmatrix}=^{(*)}(1+v^TA^{-1}u)det(A)\)
Wenn mir da beim Verständnis weiter helfen könnte wäre ich sehr dankbar.
LG, LiveNorm
