Eine Funktion auf Monotonie untersuchen

Question

Gegeben ist die Funktion \(f: (0, \infty) \to \mathbb R \) mit \(f(x) = 2x(ln(x))^{3} \). Nun soll untersucht werden, auf welchen Intervallen f monoton steigend und auf welchen monoton fallend ist.

Dafür habe ich die Nullstellen der Ableitung bestimmt (die erste liegt bei x = e^(-3) die zweite bei x = 1) und das Grenzwertverhalten untersucht (Graph strebt gegen minus unendlich für x -> 0 und gegen unendlich für x -> unendlich).

Jetzt muss ich doch eigentlich nur noch x-Werte einsetzen, die zwischen 1 und e^(-3) liegen. Denn z.B.

\( f'(\frac{1}{2}) > 0 \)

und daraus folgt, dass f im Intervall [1, e^(-3)] monoton steigt (denn wäre dem nicht so, müsste es in diesem Intervall noch eine weitere Nullstelle geben)

Ist das so richtig?

Comments

Also als Ergebnis dann:

\((0, e^{-3}]\): monoton fallend

\([e^{-3}, \infty) \): monoton steigend

Einwände?

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Einwände?

Ja. Da die Funktion für negative x und für 0 nicht definiert ist, solltest du über

(−∞,e⁻³]: monoton fallend

nochmal nachdenken.

PS: Du hast es inzwischen selbst bemerkt und korrigiert.

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Danke trotzdem :) Hättest du es genauso gemacht, oder gibt es bessere Methoden?

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    Jetzt muss ich doch eigentlich nur noch x-Werte einsetzen, die zwischen 1 und e^(-3) liegen.

Alternativ könntest du auch die zweite Ableitung bestimmen und prüfen ob es sich um Extrempunkte oder Wendestellen handelt.
Dann wüsstest du ,nachdem du einmal das Monotonieverhalten in einem Bereich bestimmt hast(z.B: für x->unendlich), dass Extrempunkte des Monotonieverhalten ändern.

Wäre wahrscheinlich ein bisschen weniger Arbeit, wenn du mehrere Nullstellen in der Ableitung hast. In Abituraufgaben, muss man im Analysis bereich meistens ja sowieso beides machen, dann erspart man sich das einsetzen der Werte in die erste Ableitung.

Answer 1

Die erste Ableitung ist 2(ln x)³+6(ln x)²=2(ln x)²((ln x) +3)

Kommst du wirklich nur durch Einsetzen eines Beispielwertes darauf, in welchen Intervall das negativ ist?

2(ln x)² kann nicht negativ sein...

Comments

Ah, ich Närrin; in der Form lässt sich sofort erkennen, dass f'(x) > 0 für x > e^(-3), f'(x) < 0 für x < e^(-3) und f'(x) = 0 für x = e^(-3). Dann kann man sich die Grenzwertbetrachtung auch schenken, und alles ist geklärt!!!

!!!!.

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und alles ist geklärt!!!

Freut mich.

;-)

f'(x) > 0 für x > e^(-3)

stimmt allerdings nicht im vorher schon von dir erkannten Ausnahmefall x=1 (was dem monotonen Wachsen aber keinen Schaden zufügt).

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Aber ich glaube, sobald wir uns der Konvexität zuwenden, wird eine Grenzwertbetrachtung unerlässlich, die zweite Ableitung ist nämlich etwas hässlich, hier ist sie:

\( f''(x) = \frac{6ln(x)(ln(x)+2)}{x} \)

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Warum Grenzwertbetrachtung? Es geht um "zweite Ableitung größer oder kleiner als Null).

Der Nenner x ist immer positiv, der Zahler ist ein Produkt aus zwei Faktoren, von denen der eine sein Vorzeichen bei 1 und der andere sein Vorzeichen bei e^-2 wechselt.

Du brauchst also nur das Vorzeichen der zweiten Ableitungen in den drei Intervallen

0 bis 1/e²

1/e² bis 1

1 bis unendlich.

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Ach so, und dafür einfach exemplarisch Werte einsetzen?

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NEIN! Wir waren doch bei der ersten Ableitung schon so weit, dass man OHNE exemplarische Werte auskommt.

Nehmen wir das erste Intervall von 0 bis 1/e²:

Dort (und nicht nur dort) ist ln(x) negativ.

ln(x) ist dort sogar kleiner als -2 und deshalb ist ln(x) + 2 dort immer noch kleiner als 0, also auch negativ.

Damit ist ln(x)*( ln(x) + 2) als Produkt zweier negativer Werte POSITIV (und wird noch durch den ebenfalls positiven Nenner x geteilt).

Die zweite Ableitung ist also zwischen 0 und 1/e² positiv.

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Also konvex in (0, e^(-2)]. Für  \(e^{-2} \leq x \leq 1 \), ist

-2 ≤ ln(x) ≤ ln(1) = 0,

und damit f''(x)≤0, da für -2 ≤ ln(x) ≤ ln(1) = 0 Folgendes gilt:

6ln(x) ≤ 0 und ln(x) + 2 ≥ 0.

Und im Nenner steht eine positive Zahl, also konvak auf

[e^(-2), 1]

Hm, also das ist zwar eleganter als exemplarisch Werte einzusetzen, aber ich finde, Werte einzusetzen geht fast sogar schneller und ist weniger fehleranfällig...

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Aber in den meisten Fällen ist wahrscheinlich deine Methode besser

Answer 2

Ich würde es auch mit dem Vorzeichenwechselkriterium machen. Dabei brauchst du nur die Vorzeichen der Faktoren und den Vorzeichenwechsel des Null werdenden Faktors untersuchen.

f(x) = 2·x·LN(x)^3

f'(x) = 2·LN(x)^3 + 2·x·3·LN(x)^2·1/x = 2·LN(x)^3 + 6·LN(x)^2 = 2·LN(x)^2·(LN(x) + 3) = 0

LN(x)^2 = 0 → x = 1 (2-fach VZW von + zu +)

LN(x) + 3 = 0 --> x = e^(-3) (VZW von - nach +)

Im Intervall ]0 ; e^(-3)] streng monoton fallend

Im Intervall [e^(-3) ; ∞[ streng monoton fallend

Merke das doppelte Nullstellen eh kein Vorzeichenwechsel haben.

Comments

Was genau bedeutet VZW von + zu + ?

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Vorzeichenwechsel von + zu +. Also im Grunde kein Vorzeichenwechsel. Die Ableitung wird nur Kurzzeitig an der Stelle 1 Null. Ist aber kurz vorher und kurz nachher positiv.