Umgebung eines Punktes

Question

Aufgabe:

Gegeben ist: f(x)=e^{0,5x^2}

Die Funktion g mit g(x)=1 + 0,5x² stellt in der Umgebung des Punktes P(0/f(0)) eine gute Näherung für f dar:

a) Bestätigen Sie, dass g an der Stelle x=0 nicht nur im Funktionswert, sondern auch in den Werten der ersten zwei Ableitungen mit f übereinstimmt.

b) Begründen Sie, dass in dem zu x=0 symmetrischen Intervall -0,91 / 0,91 die Funktionswerte von f und g nur um höchstens 0,1 voneinander abweichen.

Gegeben ist weiter eine Funktion t mit t(x)=e^{-0,5^2}

c) Leiten Sie für t als Näherungsfunktion ein Polynom i vom Grad 2 her, das folgende Eigenschaften hat:

- i(x) stimmt an der Stelle x=0 nicht nur im Funktionswert, sondern auch in dem Werten der ersten beiden Ableitung mit

t(x) überein. Kontrollergebnis ist t(x)=1-0,5x²

Problem/Ansatz:

a) Da hab ich Ableitungen gebildet von g(x9, wies aber nicht wie man das Beweisen soll.

b) Hab ich leider keinen Ansatz

c) Rekonstruktion weiß aber nicht welche Werte man herauslesen kann.

Würde mich freuen wenn mir einer bei den Aufgaben hilft.

Answer 1

Hallo

f(x)=exp(0,5*x^2)  wegen Frage a) die ersten 2 Ableitungen bilden f'=x*exp(0,5*x^2), f''=exp(0,5*x^2)(x^2+1)

f(0)=1, f'(0)=0 , f''(0)=1

jetzt g(0)=1=f(0) , g'(x)=x, g'(0)=0 =f'(0)  , g''(x)=1 g''(0)=1=f''(0)

damit ist gezeigt das die Behauptung aus a) stimmt .

b)  beide Funktionen  sind symmetrisch zu 0, also kannst du einfach f(x)-g(x) untersuchen die Differenz wächst also musst du sie nur bei 0,91 untersuchen, (also einfach ausrechnen)

c)  f(x)= exp(-0,5x^2) 2 mal ableiten: f(0), f'(0), f''(0) bestimmen. dann ein Polynom p(x)=ax^2+bx+c bestimmen das bei 0 denselben Wert und Ableitungswerte hat wie f. (da f sym zu 0 ist kann man auch p sym zu 0 wählen also nur ax^2+c)

Gruß lul