Kann mir jemand bei dem Induktionsschritt weiterhelfen? Term ergibt ein Vielfaches von 7?

Question

Beweise durch vollständige Induktion, dass der Term (steht ganz oben) für alle neN ein Vielfaches von 7 liefert. $$7 \mid 3^{n-1} \cdot 2^{2n-1}+5^{n}$$

IA: n=1: $$3^{1-1}\cdot 2^{2\cdot 1-1}+5^{1}=1+2+5=7=7\cdot 1  \quad \text{w.A.}$$

IV: $$3^{n-1}\cdot 2^{2n-1}+5^{n}=7k \quad k \in \mathbb N$$

IB: $$n\rightarrow n+1: \quad 3^{(n+1)-1}\cdot 2^{2\cdot (n+1)-1}+5^{n+1}=7k$$

IS: $$3^{(n+1)-1}\cdot 2^{2\cdot (n+1)-1}+5^{n+1}=  3^{n}\cdot 2^{2n+1}+5^{n+1} $$

Kann mir bitte jemand helfen, den Induktionsschritt weiterzuführen, ich weiß nicht weiter. Ich weiß nicht, wie ich aus der \(3^{n}\)  zu \(3^{n-1}\) komme.

Answer 1

    $$=3^{n}*2^{2n+1}+5^{n+1}$$

    $$=3*3^{n-1}*4*2^{2n-1}+5*5^{n}$$

    $$=12*3^{n-1}*2^{2n-1}+5*5^{n}$$

  $$=(7+5)*3^{n-1}*2^{2n-1}+5*5^{n}$$

  $$=7*3^{n-1}*2^{2n-1}+5*3^{n-1}*2^{2n-1}+5*5^{n}$$

  $$=7*3^{n-1}*2^{2n-1}+5*(3^{n-1}*2^{2n-1}+5^{n})$$

Beide Summanden sind durch 7 teilbar, der erste enthält den

Faktor 7 und der 2. nach Ind. vor.

Also Summe durch 7 teilbar.

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Vielen Dank!

Answer 2

Laut Voraussetzung:

$$3^{n-1}*2^{2n-1}+5^{n}=7k$$

$$ 5^{n}=7k-3^{n-1}*2^{2n-1} $$

---------------------------

$$ 3^{n}*2^{2n+1}+5^{n+1}= 3^{n}*2^{2n+1}+5*(7k-3^{n-1}*2^{2n-1})$$

$$ = 3*3^{n-1}*4*2^{2n-1}+5*7k-5*3^{n-1}*2^{2n-1}$$

$$ =5*7k+3*3^{n-1}*4*2^{2n-1}-5*3^{n-1}*2^{2n-1}$$

$$ =7*5k+(12-5)*3^{n-1}*2^{2n-1}$$

$$ =7*5k+7*3^{n-1}*2^{2n-1}$$

$$ = 7*(5k+3^{n-1}*2^{2n-1})$$

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Vielen dank für die Antwort. :)