Lösen DGL 2. Ordnung lösen

Question

\( \frac{\mathrm{d} p}{d z}=\eta \frac{1}{r} \frac{d}{d r}\left(r \frac{d}{d r} v(r)\right) \)

Ich will diese unhomogene DGL (2. Ordnung → nach Anwendung Produktregel auf der rechten Seite) lösen. Problem ist hierbei, dass die homogene Lösung C/e ist und ich so nicht die partielle Lösung finden kann, da zweimaliges Ableiten von C/e jeweils null ergibt.

Über Hilfe wäre ich dankbar.

Ps: p und z sind nicht von r abhängig. Es handelt sich bei der Aufgabe, um den laminaren Fluss durch eine Membranpore, wobei die Druckdifferenz zwischen außen und innen berechnet werden soll.

Comments

setzt du dp/dz=const und hast dann eine Dgl 2 der Ordnung für v, bzw. eine erster Ordnung für v'

 da sehe ich keine homogene Lösung. die wie du sagst konstant ist, ich habe verkürzt geschrieben mit v'=u

u'=-1/r*u+A mit A=1/μ*dp/dz

kannst du mal deine Dgl hinschreiben?

lul

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meine DGL sieht genauso aus wie die, die du hingeschrieben hast: v''+1/r*v'=A mit A=1/μ*dp/dz. Die Musterlösung ist:

 Im zweiten Schritt wurde das differential auf der rechten Seite einfach durch Multiplikation mit dr aufgelöst, obwohl doch d(r(dv/dr)) bleiben müsste. Ich finde den Ansatz generell schwierig, weil so wirkt als würde man sich die Lösung hinbiegen.

Answer 1

Hallo

im dritten Schritt wird keineswegs mit "dr" multipliziert, sondern auf beiden Seiten integriert , dabei fällt die Ableitung rechts weg. links wird aus  const*r -> const*r^2/2 + C1

wenn du meinen Weg geschrieben hättest, wäre etwa umständlicher das gleiche für v rausgekommen. Es wir keineswegs eine Lösung hingebogen, sondern zielstrebig integriert.

Gruß lul