Mit sinus,cosinus und tangens rechnen

Question

Gegeben ist sin (α)= \( \frac{2}{7} \)\( \sqrt{6} \).Bestimme ohne Taschenrechner.

1)tan (α)

 ich hab bei dieser Aufgabe cos²(α) ausgerechnet und das ist \( \frac{5}{7} \) Hab dann die Werte eingesetzt : \( \frac{sin(α)}{cos(α)}\)= \( \frac{sin(\frac{2}{7}\sqrt{6})}{cos(\frac{5}{7})} \) aber wie kann ich diesen Bruch ohne Taschenrechner ausrechnen,hab da meine Probleme mit den Wurzeln

Und bei den anderen Aufgaben von

2) sin(90°-α) und

3)tan(90°-α) komme ich nicht weiter

;(

danke im Voraus ;))) T_T

Answer 1

Aloha :)$$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{2}{7}\sqrt6}{\frac{5}{7}}=\frac{2}{7}\frac{\sqrt6\cdot7}{5}=\frac{2\sqrt6}{5}$$$$\sin(90^o-\alpha)=\cos\alpha=\frac{5}{7}$$$$\tan(90^o-\alpha)=\cot\alpha=\frac{1}{\tan\alpha}=\frac{5}{2\sqrt6}$$

Comments

Warum muss man \( \frac{5}{7} \) in der Wurzel schreiben?

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Weil \(\cos^2(\alpha)=\frac{5}{7}\) ist... wir aber \(\cos(\alpha)\) brauchen.

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Danke sehr ;)

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Ich vermute der Fragesteller hat da eine verkehrte Angabe gemacht oder sich einfach nur verschrieben. Ich komme tatsächlich auf

COS(α) = 5/7 genauer sogar ± 5/7

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Ja stimmt, ich hatte das nicht nachgerechnet. Es ist in der Tat \(\cos\alpha=\frac{5}{7}\), sodass die Wurzel nicht nötig ist. Ich habe die Antwort entsprechend angepasst, damit hier nichts Falsches stehenbleibt.

Answer 2

Hallo,

Aufgabe a)

\( \begin{aligned} \sin ^{2}(\alpha)+\cos ^{2}(\alpha) &=1 \\ \cos ^{2}(\alpha)=& 1-\sin ^{2}(\alpha) \\ \cos ^{2}(\alpha)=& 1-\frac{4}{49} 6 \\ \cos ^{2}(\alpha)=& 1-\frac{24}{49}=\frac{25}{49} \\ \cos (\alpha)=\pm \sqrt{\frac{25}{49}} \\ \cos (\alpha)=\pm \frac{5}{7} \end{aligned} \)

\( \tan \alpha=\frac{\sin (\alpha)}{\cos (\alpha)}=\frac{\frac{2}{7} \sqrt{6}}{\pm \frac{5}{7}} \)
\( \tan \alpha=\pm \frac{2}{5} \sqrt{6} \)

Answer 3

So geht das eventuell etwas einfacher:

1)

SIN(α) = 2/7·√6

SIN(α)^2 + COS(α)^2 = 1 --> COS(α) = ±√(1 - SIN(α)^2)
COS(α) = ±√(1 - (2/7·√6)^2) = ±√(1 - (4/49·6)) = ±√(25/49) = ±5/7

TAN(α) = SIN(α)/COS(α) = 2/7·√6 / (±5/7) = ± 2/5·√6

2)

SIN(90° - α) = COS(α) = ±5/7

3)

TAN(90° - α) = COT(α) = 1/TAN(α) = 1/(± 2/5·√6) = ± 5/(2·√6) = ± 5·√6/(2·6) = ± 5/12·√6