Hallo
ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter und würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte.
Eine Konservendose hat die Form eines Zylinders mit aufgesetzter Halbkugel. Das Fassungsvermögen des zylinderförmigen Teils beträgt 0,55l . Die gesamte Innenfläche der Dose (Einschließlich Innenfläche des Deckels) soll pulverbeschichtet werden.
a) Weisen Sie durch Rechnung nach, dass die Zielfunktion zur Minimierung der gesamten Innenfläche der Dose durch $$O(r)=\frac{2 Π*r*0.55 }{Π*r^2} + 3Π*r^2 = 1,1r^{-1}+3Π*r^2$$
beschrieben werden kann.
Mein Ansatz:
Als Hauptbedingung habe ich:
Halbkugeloberfläche+Zylindermanteloberfläche
O = 2 * Π * r * h + 3 * Π * r²
Als Nebenbedingung das Volumen des Zylinders:
V = Π * r² * h
dieses habe ich nach h aufgelöst:
h = 0,55/Π*r^2
Das h habe ich in die Hauptbedinung eingesetzt und nach vereinfachen bin ich auf:
$$\frac{1,1r}{r^2} + 3 * Π*r^2$$ gekommen.
b) Ermitteln Sie rechnerisch, den Radius der Grundfläche sowie die Gesamthöhe der Dose für minimalen Materialverbrauch.
Ich denke hierfür muss ich erstmal das Minimum der Funktion mit der 1. Ableitung bestimmen oder?
Ich glaube das ließe sich mit meiner erechneten Funktion mit Quotienten/Produktregel irgendwie sicher machen, doch sollen wir mit der gegeben Funktion rechnen. Nur wie komme ich auf die? Ist mein Lösungsansatz falsch? Und wie leite ich die ab?
Vllt so: $$O'(r) = -1*1,1r^{-2}+6*pi*r$$ ?
