hi! :-)
ein zweites mal paritell integrieren muss nicht sein.
\(
u(x)= \ln (x+2),\ u'(x) = \frac{1}{x+2},\ v(x)= \frac{1}{2}x^2, \ v'(x)=x \\
\int \ln (x+2)x \ \mathrm{d}x = \int u(x)\cdot v'(x) \ \mathrm{d}x = u(x)\cdot v(x) - \int u'(x)\cdot v(x)\ \mathrm{d}x =\\
\ln(x+2)\cdot\frac{1}{2}x^2 - \int \frac{1}{x+2}\cdot \frac{1}{2}x^2 \ \mathrm{d}x = \\
\frac{1}{2}\ln(x+2)\ x^2 - \frac{1}{2}\int \frac{x^2}{x+2} \ \mathrm{d}x = \\
\frac{1}{2}\ln(x+2)\ x^2 - \frac{1}{2}\int x - 2 + \frac{4}{x+2} \ \mathrm{d}x = \\
\frac{x^2}{2}\ln(x+2)- \frac{1}{2}\left( \frac{x^2}{2}+C_1 -2x + C_2 + 4 \ln(x+2) + C_3 \right) = \\
\frac{x^2}{2} \ln(x+2) - \frac{x^2}{4} + x - 2\ln(x+2) + C = \\
\ln(x+2)(\frac{x^2}{2} - 2) + x - \frac{x^2}{4} + C =\\
\frac{x^2 - 4}{2} \ln(x+2) + \frac{4x-x^2}{4} + C \\
\int_{-1}^{1}x\ln (x+2)\ \mathrm{d}x = \left [\frac{x^2 - 4}{2} \ln(x+2) + \frac{4x-x^2}{4}\right ]_{-1}^1 = \\
\frac{1^2 - 4}{2} \ln(1+2) + \frac{4\cdot1-1^2}{4} - \left( \frac{(-1)^2 - 4}{2} \ln((-1)+2) + \frac{4\cdot(-1)-(-1)^2}{4}\right) = \\
\frac{-3}{2} \ln(3) + \frac{3}{4} + \frac{3}{2} \ln(1) + \frac{5}{4} \approx 0,352082
\)
gruß,
gorgar.
