Aloha :)
Die Betragsstriche sind nur die halbe Wahrheit. Flächen unterhalb der x-Achse gehen negativ in das Integral ein. Flächen oberhalb der x-Achse positiv. Das heißt, du musst das Intervall \([-2|2]\) von Nullstelle zu Nullstelle integrieren. Und von jedem dieser Integrale den Betrag nehmen, weil du ja nicht weißt, ob das Teilstück oberhalb oder unterhalb der x-Achse verläuft.
Konkret bei deiner Aufgabe sind die Nullstellen:$$0\stackrel{!}{=}f(x)=x^3-2x=x(x^2-2)=x(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)$$$$\Rightarrow\quad x_1=-\sqrt2\quad;\quad x_2=0\quad;\quad x_3=\sqrt2$$
~plot~ x^3-2x ; [[-2.5|2.5|-4.5|4.5]] ~plot~
Die Flächeninhalt zwischen x-Achse und dem Graphen im Intervall \([-2|2]\) lautet daher:
$$F=\left|\int\limits_{-2}^{-\sqrt2}(x^3-2x)dx\right|+\left|\int\limits_{-\sqrt2}^{0}(x^3-2x)dx\right|+\left|\int\limits_{0}^{\sqrt2}(x^3-2x)dx\right|+\left|\int\limits_{\sqrt2}^{2}(x^3-2x)dx\right|$$$$\phantom{F}=\left|\left[\frac{x^4}{4}-x^2\right]_{-2}^{-\sqrt2}\right|+\left|\left[\frac{x^4}{4}-x^2\right]_{-\sqrt2}^{0}\right|+\left|\left[\frac{x^4}{4}-x^2\right]_{0}^{\sqrt2}\right|+\left|\left[\frac{x^4}{4}-x^2\right]_{\sqrt2}^{2}\right|$$$$\phantom{F}=|-1|+|1|+|-1|+|1|=4$$
