Absoluter Flächeninhalt. Verständnisfrage zu Integration

Question

Aufgabe:

ich habe folgende Verständnis Frage zur Berechnung des Absoluten Flächeninhaltes.

Da ich schon verschiedene Schreibweisen gesehen habe.

Beispiel

f(x)= x³-2x, Intervall von [-2;2]

Wenn ich nun die Flächeninhalte ausrechnen will,muss ich ja dafür sorgen das die Flächen nicht negativ sein dürfen, dies mache ich ja mithilfe der Betragsfunktion/striche.

Problem/Ansatz:

Ist es in Ordnung diese im Ergebnis zu setzten, oder muss ich diese schon um die Funktion setzten, da ich mir nicht sicher bin wie sich dann die Aufleitung zur Stammfunktion ändert.

Answer 1

Aloha :)

Die Betragsstriche sind nur die halbe Wahrheit. Flächen unterhalb der x-Achse gehen negativ in das Integral ein. Flächen oberhalb der x-Achse positiv. Das heißt, du musst das Intervall $[-2|2]$ von Nullstelle zu Nullstelle integrieren. Und von jedem dieser Integrale den Betrag nehmen, weil du ja nicht weißt, ob das Teilstück oberhalb oder unterhalb der x-Achse verläuft.

Konkret bei deiner Aufgabe sind die Nullstellen:$$0\stackrel{!}{=}f(x)=x^3-2x=x(x^2-2)=x(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)$$$$\Rightarrow\quad x_1=-\sqrt2\quad;\quad x_2=0\quad;\quad x_3=\sqrt2$$

~plot~ x^3-2x ; [[-2.5|2.5|-4.5|4.5]] ~plot~

Die Flächeninhalt zwischen x-Achse und dem Graphen im Intervall $[-2|2]$ lautet daher:

$$F=\left|\int\limits_{-2}^{-\sqrt2}(x^3-2x)dx\right|+\left|\int\limits_{-\sqrt2}^{0}(x^3-2x)dx\right|+\left|\int\limits_{0}^{\sqrt2}(x^3-2x)dx\right|+\left|\int\limits_{\sqrt2}^{2}(x^3-2x)dx\right|$$$$\phantom{F}=\left|\left[\frac{x^4}{4}-x^2\right]_{-2}^{-\sqrt2}\right|+\left|\left[\frac{x^4}{4}-x^2\right]_{-\sqrt2}^{0}\right|+\left|\left[\frac{x^4}{4}-x^2\right]_{0}^{\sqrt2}\right|+\left|\left[\frac{x^4}{4}-x^2\right]_{\sqrt2}^{2}\right|$$$$\phantom{F}=|-1|+|1|+|-1|+|1|=4$$