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Aufgabe:

Beschreiben Sie die Achtelkugel vom Radius R > 0 im ersten Oktanten des R3 als Normalgebiet G und be-
rechnen Sie das Volumen als vol3(G) = ∫1 d(x, y, z)

hinweis :  ∫ 1−u2du=1arcsin(u)+u1−u2
Problem/Ansatz:


Theoretisch würde ich sagen, eine Achtelkugel hat ja quasi die form eines Zylinders und würde dessen Volumen berechnen wo letztendlich piHR^2 rauskommen würde. Allerdings macht der Hinweis nun letztendlich keinerlei Sinn.

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Aloha :)

Nach Aufgabenstellung und Tipp vermute ich, dass die Transformation von kartesischen Koordinaten zu Kugelkoordinaten noch nicht im Unterricht behandelt wurde. Daher führe ich die Berechnung anhand kartesischer Koordinaten vor.

Wir sollen eine Achtelkugel im ersten Oktanden des Koordinatensystems betrachten, d.h. wir legen den Mittelpunkt der Kugel in den Ursprung des Koordinatensystems und setzen für alles Folgende \(x,y,z\ge0\) voraus. Für eine Kugel mit Radius \(R\) gilt:$$x^2+y^2+z^2\le R^2$$Zu Anfang können wir für \(x\) alle Werte aus \([0|R]\) wählen, ohne die Bedingung \(x^2\le R^2\) zu verletzen. Wenn \(x\) gewählt ist, müssen \(y^2+z^2\) die Bedingung$$y^2+z^2\le R^2-x^2$$erfüllen. Daher können wir \(y\) nur noch aus dem Intervall \([0|\sqrt{R^2-x^2}]\) wählen. Wenn \(x\) und \(y\) gewählt sind, wird es eng für \(z\), denn$$z^2\le R^2-x^2-y^2$$erlaubt uns nur noch, \(z\) aus dem Intervall \([0|\sqrt{R^2-x^2-y^2}]\) zu wählen. Nach diesen Überlegungen kann man das Volumen der Achtelkugel durch folgendes Integral bestimmen:$$V_8=\int\limits_0^R dx\int\limits_0^{\sqrt{R^2-x^2}}dy\int\limits_0^{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}dz$$Wichtig ist hierbei die Einhaltung der Integrationsreihenfolge. Wir müssen zuerst über \(dz\) integrieren, weil in der Obergrenze von \(z\) die beiden anderen Integrationsvariablen \(x\) und \(y\) auftauchen. Das Integral kann man sofort hinschreiben:$$V_8=\int\limits_0^Rdx\int\limits_0^{\sqrt{R^2-x^2}}dy\sqrt{R^2-x^2-y^2}$$Die Obergrenze von \(y\) hängt von \(x\) ab, also muss die Integration über \(dy\) als nächstes erfolgen. Das ist sicherlich der "schwierigste Schritt".$$I_y=\int\limits_0^{\sqrt{R^2-x^2}}dy\sqrt{(R^2-x^2)-y^2}=\int\limits_0^{\sqrt{R^2-x^2}}\sqrt{R^2-x^2}\sqrt{1-\frac{y^2}{R^2-x^2}}\,dy$$Mit der Substitution \(u(y):=\frac{y}{\sqrt{R^2-x^2}}\) und daraus folgend$$\frac{du}{dy}=\frac{1}{\sqrt{R^2-x^2}}\;\Leftrightarrow\;dy=\sqrt{R^2-x^2}\,du\;\;;\;\;u(0)=0\;\;;\;\;u(\sqrt{R^2-x^2})=1$$vereinfacht sich das Integral zu$$I_y=\int\limits_0^{1}\sqrt{R^2-x^2}\sqrt{1-u^2}\,\sqrt{R^2-x^2}\,du=(R^2-x^2)\int\limits_0^1\sqrt{1-u^2}\,du$$Wir fassen den Zwischenstand zusammen:$$V_8=\int\limits_0^Rdx(R^2-x^2)\int\limits_0^1\sqrt{1-u^2}\,du=\left[R^2x-\frac{x^3}{3}\right]_0^R\int\limits_0^1\sqrt{1-u^2}\,du$$$$\phantom{V_8}=\left(R^3-\frac{R^3}{3}\right)\int\limits_0^1\sqrt{1-u^2}\,du=\frac{2R^3}{3}\int\limits_0^1\sqrt{1-u^2}\,du$$Für das letzte Integral sollte nun vermutlich der Tipp aus der Aufgabenstellung greifen. Leider steht da Unsinn. Daher rechne ist das verbliebene Integral von Hand aus. Substituiere:$$u:=\sin x\;\;\Rightarrow\;\;\frac{du}{dx}=\cos x\;\;\Rightarrow\;\;du=\cos x\,dx$$$$x=\arcsin(u)\;\;\Rightarrow\;\;x(0)=0\;\;;\;\;x(1)=\frac{\pi}{2}$$$$\int\limits_0^1\sqrt{1-u^2}\,du=\int\limits_0^{\pi/2}\sqrt{1-\sin^2x}\,\cos x\,dx=\int\limits_0^{\pi/2}\cos^2x\,dx=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{1+\cos(2x)}{2}\,dx$$$$\phantom{\int\limits_0^1\sqrt{1-u^2}\,du}=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{1}{2}\,dx+\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\cos(2x)}{2}\,dx=\left[\frac{x}{2}\right]_0^{\pi/2}+\left[\frac{\sin(2x)}{4}\right]_0^{\pi/2}=\frac{\pi}{4}$$Damit ist das gesuchte Volumen$$V_8=\frac{2R^3}{3}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi\,R^3}{6}$$

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Eine Achtelkugel ist kein Zylinder. Ihr Volumen ist elementargeomertisch π/6·r3.

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Und wie komme ich darauf?

Du nimmst das Volumen einer Kugel und dividierst durch 8.

Wieso ist y nur von R^2 und x^2 abhängig und nicht noch von der z - Koordinate

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