1. den vermutlichen Grenzwert ermitteln:
\( \sqrt[n]{n^{5}+2^{n}-1} \) =\( \sqrt[n]{(\frac{n^{5}}{2^{n}}+1-2^{-n})*2^{n}} \) =2 \( \sqrt[n]{(\frac{n^{5}}{2^{n}}+1-2^{-n})} \)
↓ ↓ ↓
0 1 0
Vermutung: Grenzwert=2
2. Beweis:
Klar ist: Wenn n≥2, dann Radikand > 2
z.z: I \( \sqrt[n]{n^{5}+2^{n}-1} \) - 2 I < ε
I \( \sqrt[n]{n^{5}+2^{n}-1} \) - 2 I = \( \sqrt[n]{n^{5}+2^{n}-1} \) - 2 ≤ \( \sqrt[n]{2^{n}+2^{n}-1} \) - 2
≤ \( \sqrt[n]{2^{n}+2^{n}} \) - 2 = \( \sqrt[n]{2^{n+1}} \) - 2 = \( 2^{1+\frac{1}{n}} \) - 2 = 2(\( 2^{\frac{1}{n}}-1) \) < ε mit n > \( \frac{ln(2)}{ln(1+\frac{ε}{2})} \)