Question

Prüfen Sie die angegebenen Folgen auf Konvergenz und bestimmte Divergenz.
Bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

A_n= \( \sqrt[n]{n^5+2^n-1} \)

Könnte mir mal einer von euch bitte zeigen, wie man hier den Grenzwert berechnet?

Comments

Klammere den Faktor 2^n aus.

Answer 1

Für große n kann man n^5 und -1 vernachlässigen, da 2^n am schnellsten wächst

-> lim = (2^n)^(1/n) = 2 für n gg. oo

oder:

Quotientenkriterium verwenden:

((n+1)^5+2^(n+1)-1)/ (n^5+2^n-1)

Mit 2^n kürzen liefert lim = 2/1 = 2 für n gg. oo

Comments

Das Quotientenkriterium wendet man bei Reihen an.

Answer 2

1. den vermutlichen Grenzwert ermitteln:

\( \sqrt[n]{n^{5}+2^{n}-1} \) =\( \sqrt[n]{(\frac{n^{5}}{2^{n}}+1-2^{-n})*2^{n}} \) =2 \( \sqrt[n]{(\frac{n^{5}}{2^{n}}+1-2^{-n})} \)

                                                                              ↓      ↓      ↓

                                                                              0      1      0

Vermutung: Grenzwert=2

2. Beweis:

Klar ist: Wenn n≥2, dann Radikand > 2

z.z: I \( \sqrt[n]{n^{5}+2^{n}-1} \) - 2 I < ε

I \( \sqrt[n]{n^{5}+2^{n}-1} \) - 2 I = \( \sqrt[n]{n^{5}+2^{n}-1} \) - 2 ≤  \( \sqrt[n]{2^{n}+2^{n}-1} \) - 2

≤ \( \sqrt[n]{2^{n}+2^{n}} \) - 2 = \( \sqrt[n]{2^{n+1}} \) - 2 = \( 2^{1+\frac{1}{n}} \) - 2 = 2(\( 2^{\frac{1}{n}}-1) \) < ε mit n > \( \frac{ln(2)}{ln(1+\frac{ε}{2})} \)