Question

Prüfen Sie die angegebenen Folgen auf Konvergenz und bestimmte Divergenz.
Bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

A_n= $\sqrt[n]{n^5+2^n-1}$

Könnte mir mal einer von euch bitte zeigen, wie man hier den Grenzwert berechnet?

Comments

Klammere den Faktor 2ⁿ aus.

Answer 1

Für große n kann man n⁵ und -1 vernachlässigen, da 2ⁿ am schnellsten wächst

-> lim = (2ⁿ)^(1/n) = 2 für n gg. oo

oder:

Quotientenkriterium verwenden:

((n+1)⁵+2^(n+1)-1)/ (n⁵+2ⁿ-1)

Mit 2ⁿ kürzen liefert lim = 2/1 = 2 für n gg. oo

Comments

Das Quotientenkriterium wendet man bei Reihen an.

Answer 2

1. den vermutlichen Grenzwert ermitteln:

$\sqrt[n]{n^{5}+2^{n}-1}$ =$\sqrt[n]{(\frac{n^{5}}{2^{n}}+1-2^{-n})*2^{n}}$ =2 $\sqrt[n]{(\frac{n^{5}}{2^{n}}+1-2^{-n})}$

                                                                              ↓      ↓      ↓

                                                                              0      1      0

Vermutung: Grenzwert=2

2. Beweis:

Klar ist: Wenn n≥2, dann Radikand > 2

z.z: I $\sqrt[n]{n^{5}+2^{n}-1}$ - 2 I < ε

I $\sqrt[n]{n^{5}+2^{n}-1}$ - 2 I = $\sqrt[n]{n^{5}+2^{n}-1}$ - 2 ≤  $\sqrt[n]{2^{n}+2^{n}-1}$ - 2

≤ $\sqrt[n]{2^{n}+2^{n}}$ - 2 = $\sqrt[n]{2^{n+1}}$ - 2 = $2^{1+\frac{1}{n}}$ - 2 = 2($2^{\frac{1}{n}}-1)$ < ε mit n > $\frac{ln(2)}{ln(1+\frac{ε}{2})}$