minimaler Abstand Geraden mithilfe Ebene

Question

Aufgabe:

g:r= (-1/3/4)+ s*(3/-2/0)

h:r=(1/8/-1) +t*(-3/4/1)

Bestimmen sie mit Hilfe von Ebenen den minimalen Abstand der zwei Geraden und die Punkte der beiden Geraden mit diesem Abstand.

Problem/Ansatz:

Wie wird der minimale Abstand zweier windschiefer Geraden berechnet?

Answer 1

Die Ebenen lauten e₁: x= (-1/3/4)+ s*(3/-2/0)+t*(-3/4/1)
                        und e₂: x=(1/8/-1) + s*(3/-2/0)+t*(-3/4/1)

Ein Normalenvekror zu beiden Ebenen ist \( \begin{pmatrix} 2\\-2\\0 \end{pmatrix} \) ×\( \begin{pmatrix} -3\\4\\1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} -2\\-3\\6 \end{pmatrix} \).Berechne den Schnittpunkt

der Geraden \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} -1\\3\\4 \end{pmatrix} \) +u· \( \begin{pmatrix} -2\\-3\\6 \end{pmatrix} \) mit e₂.

Answer 2

g: r = (-1/3/4) + s * (3/-2/0)
h: r = (1/8/-1) + t * (-3/4/1)

[3, -2, 0] ⨯ [-3, 4, 1] = [-2, -3, 6] = -[2, 3, -6]

[-1, 3, 4] + r·[3, -2, 0] + s·[2, 3, -6] = [1, 8, -1] + t·[-3, 4, 1] --> r = 1 ∧ s = 1 ∧ t = -1

Der minimale Abstand beträgt

|1·[2, 3, -6]| = 7

Die Beiden Punkte sind

[-1, 3, 4] + 1·[3, -2, 0] = [2, 1, 4]
[1, 8, -1] - 1·[-3, 4, 1] = [4, 4, -2]