Maximaler + Minimaler Abstand von 2 Punkten auf (x=u) die zwei Parabeln liegen.

Question

Hallo.


Wie berechnet man den maximalen und den minimalen Abstand von zwei Parabeln?

Und wie berechnet man den maximalen und den minimalen Abstand von zwei Punkten, welche auf zwei unterschiedlichen Parabeln oder Geraden  liegen?

Präzision auf dem Kommentar:
Gegeben ist die Funktion f durch f(x)=-x²+4

 

Das Schaubild von f ist Kf

Die Gerade mit der Gleichung x=u (-1<=u<=2)

schneidet Kf im Punkt P und die Gerade Kg im Punkt Q.

Bestimmen sie den Abstand von P und Q für u=1.

Wie ist u zu wählen, damit der Abstand von P und Q am größten wird ??

Ich hab mal soweit gerechnet und die GERADE Kg lautet: y=-x+2

Comments

Meinst du den minimalen vertikalen Abstand oder sollst du das allgemeiner lösen?

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also ich denke den allgemeinen weil ich hab hier z.B. eine Aufgabenstellung bei der eine Parabel und eine Geraden gegeben ist auf welchen jeweils ein Punkt liegt und die Frage der Aufgabe lautet:
Wie ist u zu wählen, damit der Abstand von P und Q am größten wird

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Eine Skizze wäre hilfreich. Der allgemeine kleinste Abstand zweier Parabeln wäre im weiteren eine Ziemliche Rechenarbeit. Das habe ich mal probiert. Das ist aber sehr ungünstig allgemein zu machen.

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Aufgabenstellung:

 

Gegeben ist die Funktion f durch f(x)=-x²+4

Das Schaubild von f ist Kf

Die Gerade mit der Gleichung x=u (-1<=u<=2)

schneidet Kf im Punkt P und die Gerade Kg im Punkt Q.

Bestimmen sie den Abstand von P und Q für u=1.

 

Wie ist u zu wählen, damit der Abstand von P und Q am größten wird ??

 

Ich hab mal soweit gerechnet und die GERADE Kg lautet: y=-x+2

 

ich hoffe es ist hilfreich

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x=u ist immer eine vertikale Gerade. Daher genügt es den vertikalen Abstand zu betrachten.

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ok. und wie berechnet man dann den vertikalen Abstand und den senkrechten Abstand ??

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vertikal = senkrecht im Koordinatensystem :)

Rechne dazu f(x) - g(x) und nimm schlimmstenfalls vom Resultat das neg. Vorzeichen weg.

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und wie berechnet man den waagerechten Abstand ?

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Spiegele die Graphen an der Geraden y=x.

Dazu kannst du die Umkehrfunktionen deiner Funktionen bestimmen (x und y vertauschen, nach y auflösen), und dann diese voneinander subtrahieren.

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aber wenn ich doch jetzt zwei Parabeln voneinander subtrahieren und nach u auflösen komme ich doch dann auf zwei Ergebnisse also u1 und u2 welcher ist dann der geringste bzw. der maximalste Abstand?

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Könnte jemand den genauen Lösungsweg der Aufgabe darstellen ?? Danke

Answer 1

f(x)=-x²+4

 g(x)=-x+2

d(x) = f(x) - g(x) = -x^2 + x + 2 extremal?

Ableitung 0 setzen:

d ' (x) = -2x + 1 = 0

==> x = 0.5

Somit u = 0.5 die gesuchte vertikale Gerade.

P(0.5 | -1/4 + 4) = P(0.5 | 3.75)

Q(0.5| -0.5 + 2) = Q(0.5 | 1.5)

Abstand: 3.75 - 1.5 = 2.25

Ist vermutlich ein lokales Maximum.

Rechnung ohne Gewähr. Mach mal noch eine Skizze und rechne sorgfältig nach.

Um zu wissen, ob das auch ein Maximum im ganzen Intervall ist, muss du zumindest noch die Funktionswerte an den Intervallrändern berechnen und voneinander subtrahieren.

Dann solltest du auch noch die Schnittstellen der beiden Kurven bestimmen. Liegen sie im betrachteten Intervall, ist der Abstand in ihr minimal. Andernfalls an einer der Randstellen.

Nützliche Formeln zu Parabeln: Ganz weit unten in folgendem Link: https://www.matheretter.de/wiki/quadratische-funktionen

Comments

Rechnung stimmt. Skizze habe ich mal gemacht damit es klar wird:

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Besten Dank für die Skizze. Sieht tatsächlich ok aus. Schön, dass ich mich nicht verrechnet hatte.

Vorgegebener Bereich:

 (-1<=u<=2)

Bei u= -1 und bei u= 2 ist offensichtlich der Abstand 0 also beide lokal minimal. 

P(-1,3) = Q(-1,3) und P(2,0) = Q(2|0).  Eine globale Minimalstelle gibt's nicht.