Hilfe bei Differenzialrechnung

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie mithilfe des Differenzquotienten die Steigung der Funktion f

F(x) =x^2-3

An der Stelle x0=2

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand helfen ich habe grade keine Ahnung wie das geht

Answer 1

Ich mache es hier mal bewusst mit der allgemeinen Herleitung des Differentialquotienten aus dem Differenzenquotienten.

$$f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} \frac{((x+h)^2 - 3) - (x^2-3)}{h} \\ f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} \frac{(x^2 + 2xh + h^2 - 3) - (x^2 - 3)}{h} \\ f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - 3 - x^2 + 3}{h} \\ f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} \\ f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} 2x + h = 2x \\ \\ f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$$

Du könntest alternativ für das x auch immer direkt die 2 einsetzen. Da man es aber auch allgemein können sollte habe ich das mal so gemacht.

Answer 2

Vereinfache den Term \( \frac{((2+h)^2-3)-(2^2-3)}{h} \) und bilde den Grenzwert des Ergebnisses für h gegen Null.