Keine Lösung gibt es, wenn die falsche Aussage 1=0 herauskommt.
Bei 0=0 gibt es unendlich viele Lösungen.
Sonst gibt es genau eine Lösung.
a)
I x+r*y=7
II 3*x+3*y=4
3*I-II) 3ry-3y=17
3y(r-1)=17 Jetzt nicht dividieren!
Wenn r=1 ist, ist die Aussage falsch. Für jeden anderen Wert kann y berechnet werden.
Bei a) ist r=1 richtig für keine Lösung, da 3*(x+1*y)=3x+3y ist und die Geraden dann parallel verlaufen. Für jeden anderen Wert von r gibt es genau eine Lösung (Schnittpunkt der Geraden). Unendlich viele Lösungen kann es hier nicht geben, da dann eine Gleichung ein Vielfaches der anderen sein muss.
b) I 2*x-y+r*z=2-2*r
II 2*y+z=r
III x+6*y+4*z=2+2*r
----------------------------------
x eliminieren:
2*III-I: 13y+8z-rz=2+6r
13y + (8-r)z=2+6r (IV)
2y + z =r (IV)
--------------------------------
y eliminieren:
2*IV-13*II: (16-2r-13)z=4-r → \(z=\dfrac{4-r}{3-2r}\) für \(z\neq 1,5\)
(IV) → \(2y+\dfrac{4-r}{3-2r}=r \Rightarrow 2y = \dfrac{(3-2r)r}{3-2r}-\dfrac{4-r}{3-2r}\)
\(y=\dfrac{-2 + 2 r - r^2}{3 - 2 r}\)
...
\(x=\dfrac{2 -6 r+2 r^2}{3 - 2 r}\)
Alle Nenner werden 0 für r=1,5.
Für \(r\neq1,5\) gibt es also genau eine Lösung.
Nun müssen wir noch gucken, ob die Zähler für r=1,5 Null sind oder nicht.
Da alle Zähler in diesem Fall nicht Null sind gibt es für r=1,5 keine Lösung.
Der Fall "unendlich viele Lösungen" kommt nicht vor.
