Folge auf Konvergenz untersuchen

Question

Aufgabe:

\( \frac{n* 2^n}{(2n!)} \)

bin am Schritt \( \frac{(n+1)2 *2n!}{(2n+1)(2n+2)*n} \) angekommen

hab 2^n+1 mit 2^n gekürzt daher also die Zwei im Zähler.

Comments

Warum tust du das überhaupt?

Der Nenner hat fast doppelt so viele Faktoren wie der Zähler, und diese vielen Faktoren sind auch fast alle noch wesentlich größer als die im Zähler.

Die Folge ist ganz klar eine Nullfolge.

Oder geht es dir nicht um die Folge, sondern um die Reihe)? (Nur so kann ich mir deine ansonsten unnötige Quotientenbildung erklären.)

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für mich ist es leider nicht ganz klar das es eine nullfolge ist hahah

und mir gehts einfach ums berechnen um das schema wie ich auch die anderen folgen und reihen berechnen kann

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wie ich auch die anderen folgen und reihen berechnen kann

Und da war wieder dein Problem.

Geht es HIER nun um die FOLGE oder um die REIHE?

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in der aufgabestellung steht folge

Answer 1

Wenn du ,,nur" zeigen willst, dass es eine Nullfolge ist, kannst du so vorgehen:

Zeige, dass für alle \(n\in \mathbb{N}\) die Abschätzung \(\frac{a_{n+1}}{a_n}<1\),sodass man eine Konstante c mit \(\frac{a_{n+1}}{a_n} \leq c<1\) hat. Zeige damit, dass für alle \( n\in \mathbb{N}\) die Eigenschaft \(a_{n+1}\leq c^n\cdot a_1 \) gilt. Das geht über Induktion.

Answer 2

für mich ist es leider nicht ganz klar das es eine nullfolge ist

Dann mach dir mal klar, dass die Folge die Form \( \frac{n\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdots  \cdot 2 \cdot 2}{1\cdot 2 \cdot 3 \cdots \cdot n \cdot (n+1) \cdot (n+2) \cdots (2n-2)\cdot (2n-1)\cdot(2n)} \) hat.

Du hast im Nenner 2n Faktoren, von denen die Hälfte gerade ist. Damit kürzen sich sämtliche n Faktoren 2 aus dem Zähler mit den geraden Zahlen im Nenner. Im Zähler steht damit nur noch n, während im Nenner unter anderem noch alle ungeraden Zahlen und die gekürzten geraden Zahlen stehen.

Das n kürzt sich mit dem aus (2n) durch Kürzen entstandenem n  auch noch weg ...