Folge auf Konvergenz mithilfe der Definition untersuchen

Question

Text erkannt:

2. Untersuchen Sie mit Hilfe der Definition die Folge $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ auf Konvergenz, wobei
[5] $a_{n}=\frac{2 n^{3}+3 n^{2}-8 n}{3 n^{3}-2 n}$ für alle $n \in \mathbb{N}$.

Aufgabe: Folge auf Konvergenz untersuchen mithilfe der Definition

…

Problem/Ansatz:Hallo, ich übe gerade für meine Klausur und ich verstehe einfach nicht, wie es mit der definition funktioniert. Ich habs schon oft mals versucht aber es kommt immer was falsches raus, i need help pls

Answer 1

Was ist denn der Grenzwert?

Wenn Du den hast bzw. stark vermutest, mußt Du zeigen, dass der Abstand der Folgenglieder zum Grenzwert beliebig klein wird, wenn n genügend groß wird (das ist die Epsilon Definition des Grenzwertes einer Folge). Oft nutzt man dazu am Ende Abschätzungen, um den Ausdruck zu vereinfachen.

Comments

der vermutete grenzwert ist ja 2/3 da die beide die höchste potenz haben, ich versteh einfach nur nicht wie ich dies mit der definition beweise

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Gut, dann rechne den Ausdruck:

Ι 2/3 - a_n l

aus, bringe ihn auf denselben Nenner und zeige, dass diese Differenz gegen Null geht, d.h. für ein beliebiges, gegebenes Epsilon größer Null gibt es ein N₀  sodaß die Differenz kleiner Epsilon für n> N₀

Da nach dem Gleichnamigmachen n³ im Zähler verschwindet und dort dann die höchste Potenz 2 ist, im Nenner aber 3, wird diese Differenz gegen Null gehen und man kann leicht abschätzen, das dies der Fall ist.

Answer 2

Aloha :)

Es hilft oft, den Folgenterm zuerst etwas umzuformen:$$a_n=\frac{2n^3+3n^2\pink{-8n}}{3n^3-2n}=\frac{\left(2n^3\pink{-\frac43n}\right)+\left(3n^2\pink{-\frac{20}{3}n}\right)}{3n^3-2n}=\frac{2n^3-\frac43n}{3n^3-2n}+\frac{3n^2-\frac{20}{3}n}{3n^3-2n}$$$$\phantom{a_n}=\frac{2\cdot\left(n^3-\frac23n\right)}{3\cdot\left(n^3-\frac23n\right)}+\frac{\frac{1}{3n^2}\cdot\left(3n^2-\frac{20}{3}n\right)}{\frac{1}{3n^2}\cdot\left(3n^3-2n\right)}=\frac23+\frac{1-\frac{20}{9n}}{n-\frac{2}{3n}}$$

Den 2. Bruch können wir nach oben abschätzen, indem wir den Zähler auf $1$ vergrößern und den Nenner auf $(n-1)$ verkleinern. Für $n\ge2$ gilt daher die Abschätzung:$$a_n<\frac23+\frac{1}{n-1}\quad\text{bzw.}\quad\left|a_n-\frac23\right|<\frac{1}{n-1}\quad\text{für }n\ge2$$

Wähle nun ein $\varepsilon>0$ beliebig und halte es fest. Prüfe nun, ob es für dieses beliebige $\varepsilon$ ein $n_0\in\mathbb N$ gibt, ab dem die rechte Obergrenze kleiner als $\varepsilon$ ist:$$\frac{1}{n-1}\stackrel{!}{<}\varepsilon\implies n-1>\frac1\varepsilon\implies n>1+\frac1\varepsilon$$

Für jedes $\varepsilon>0$ gibt es also ein $n_0\coloneqq\left\lceil1+\frac1\varepsilon\right\rceil$, sodass für alle $n\ge n_0$ gilt:$$\left|a_n-\frac23\right|<\frac{1}{n-1}<\varepsilon$$

Daher konvergiert die Folge $(a_n)$ gegen den Grenzwert $\frac23$: