Folge auf Konvergenz mithilfe der Definition untersuchen

Question

Text erkannt:

2. Untersuchen Sie mit Hilfe der Definition die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) auf Konvergenz, wobei
[5] \( a_{n}=\frac{2 n^{3}+3 n^{2}-8 n}{3 n^{3}-2 n} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \).

Aufgabe: Folge auf Konvergenz untersuchen mithilfe der Definition

…

Problem/Ansatz:Hallo, ich übe gerade für meine Klausur und ich verstehe einfach nicht, wie es mit der definition funktioniert. Ich habs schon oft mals versucht aber es kommt immer was falsches raus, i need help pls

Answer 1

Was ist denn der Grenzwert?

Wenn Du den hast bzw. stark vermutest, mußt Du zeigen, dass der Abstand der Folgenglieder zum Grenzwert beliebig klein wird, wenn n genügend groß wird (das ist die Epsilon Definition des Grenzwertes einer Folge). Oft nutzt man dazu am Ende Abschätzungen, um den Ausdruck zu vereinfachen.

Comments

der vermutete grenzwert ist ja 2/3 da die beide die höchste potenz haben, ich versteh einfach nur nicht wie ich dies mit der definition beweise

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Gut, dann rechne den Ausdruck:

Ι 2/3 - a_n l

aus, bringe ihn auf denselben Nenner und zeige, dass diese Differenz gegen Null geht, d.h. für ein beliebiges, gegebenes Epsilon größer Null gibt es ein N₀  sodaß die Differenz kleiner Epsilon für n> N₀

Da nach dem Gleichnamigmachen n³ im Zähler verschwindet und dort dann die höchste Potenz 2 ist, im Nenner aber 3, wird diese Differenz gegen Null gehen und man kann leicht abschätzen, das dies der Fall ist.