Aloha :)
Es hilft oft, den Folgenterm zuerst etwas umzuformen:$$a_n=\frac{2n^3+3n^2\pink{-8n}}{3n^3-2n}=\frac{\left(2n^3\pink{-\frac43n}\right)+\left(3n^2\pink{-\frac{20}{3}n}\right)}{3n^3-2n}=\frac{2n^3-\frac43n}{3n^3-2n}+\frac{3n^2-\frac{20}{3}n}{3n^3-2n}$$$$\phantom{a_n}=\frac{2\cdot\left(n^3-\frac23n\right)}{3\cdot\left(n^3-\frac23n\right)}+\frac{\frac{1}{3n^2}\cdot\left(3n^2-\frac{20}{3}n\right)}{\frac{1}{3n^2}\cdot\left(3n^3-2n\right)}=\frac23+\frac{1-\frac{20}{9n}}{n-\frac{2}{3n}}$$
Den 2. Bruch können wir nach oben abschätzen, indem wir den Zähler auf \(1\) vergrößern und den Nenner auf \((n-1)\) verkleinern. Für \(n\ge2\) gilt daher die Abschätzung:$$a_n<\frac23+\frac{1}{n-1}\quad\text{bzw.}\quad\left|a_n-\frac23\right|<\frac{1}{n-1}\quad\text{für }n\ge2$$
Wähle nun ein \(\varepsilon>0\) beliebig und halte es fest. Prüfe nun, ob es für dieses beliebige \(\varepsilon\) ein \(n_0\in\mathbb N\) gibt, ab dem die rechte Obergrenze kleiner als \(\varepsilon\) ist:$$\frac{1}{n-1}\stackrel{!}{<}\varepsilon\implies n-1>\frac1\varepsilon\implies n>1+\frac1\varepsilon$$
Für jedes \(\varepsilon>0\) gibt es also ein \(n_0\coloneqq\left\lceil1+\frac1\varepsilon\right\rceil\), sodass für alle \(n\ge n_0\) gilt:$$\left|a_n-\frac23\right|<\frac{1}{n-1}<\varepsilon$$
Daher konvergiert die Folge \((a_n)\) gegen den Grenzwert \(\frac23\):
