Beweisen Sie die Konvergenz der Folge durch Definition

Question

ich habe Probleme mit dieser Aufgabe:

Beweisen Sie die Konvergenz der Folge: c_n=  \( \frac{(3n+4)^2}{3/4 n^2 - 2} \)      ,n∈N

mit Hilfe der Definition.

Bisher habe ich so gemacht:

Die Grenzwert ist 12. Also muss ich beweisen: fur jede ε>0 existiert ein n(ε) ∈N so dass gilt

| \( \frac{(3n+4)^2}{3/4 n^2 - 2} \) -12| < ε    fur jede n> n(ε) 

⇔  | \( \frac{24n +10}{3/4 n^2 - 2} \)| =  \( \frac{24n +10}{|3/4 n^2 - 2|} \) < ε

⇔  \( \frac{2(12n +5)}{|3/4 n^2 - 2|} \) = \( \frac{2(12n+5)}{3/4 n^2 - 2} \)  wenn n(ε) > \( \frac{2+\sqrt{6}}{3} \)

Abschätzung: \( \frac{12n +5}{3/8 n^2 - 1} \) <= \( \frac{12n +5n}{3/8 n- 1} \)  aber das ist wahr nur wenn n> 8/3

(Ist diese Abschätzung richtig?)

Also muss ich ein n> n(ε) finden so dass gilt:

\( \frac{12n +5n}{3/8 n- 1} \)  < ε

⇔  n > \( \frac{ε}{3/8 ε -17} \)

Ich setzte n(ε) = \( \frac{ε}{3/8 ε -17} \) . Also gilt jedenfalls :

fur jede ε>0 existiert ein n(ε) ∈N so dass gilt  | \( \frac{(3n+4)^2}{3/4 n^2 - 2} \) -12| < ε   fur jede n> n(ε)

Habe ich das richtig gemacht? Ich habe viele Zweifel über die Abschätzung und wie man sie machen soll.

Vielen Dank im Voraus.

Comments

Was steht im Nenner?

\(\frac{3}{4}n²-2\)?

\(\frac{3}{4n²}-2\)?

\(\frac{3}{4n²-2}\)?

Answer 1

(Ist diese Abschätzung richtig?)

Richtig schon, aber führt nicht zum Ziel.

Du musst ja etwas bekommen, was jedenfalls als

"kleiner Epsilon" erkannt werden kann, also am besten

etwas, das für n gegen unendlich selbst gegen 0 geht.

Dein Ergebnis 17n / ( 3/8 n - 1 ) tut das nicht.

Das n^2 im Nenner muss jedenfalls erhalten bleiben;

denn das sorgt ja dafür, dass die Sache gegen 0 geht.

Also schätze zum Beispiel so ab

(12n+5) / ( 0,75n^2 - 2 )  Nenner verkleinern !

Für großes n ist jedenfalls 0,1n^2 <  0,75n^2-2

≤ (12n+5) / ( 0,1n^2  )   Zähler vergrößern

≤ (20n) / (0,1n^2  )   = 200/n

Also hast du :

Abschätzung: \( \frac{12n +5}{3/8 n^2 - 1} \) <= \( \frac{200}{n} \)

und damit kannst du leicht weiterrechnen.

Comments

Vielen Dank ! Das hat mir sehr geholfen