sehen wir uns erst einmal an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass dreimal die gleiche Augenzahl geworfen wird:
Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Zahl eine 1 ist, ist 1/6; die W., dass die erste und die zweite Zahl beide 1 sind, ist 1/6 * 1/6; und die W., dass die erste und zweite und dritte Zahl alle 1 sind, ist 1/6 * 1/6 * 1/6 = (1/6)3.
Das gilt auch für drei Zweien, drei Dreien, drei Vieren, drei Fünfen und drei Sechsen, deshalb ist die W., dass man dreimal die gleiche Zahl würfelt: 6 * (1/6)3 oder 6 * 1/63 oder 1/62.
Nun zur Wahrscheinlichkeit, dass zwei gleiche Augenzahlen gewürfelt werden.
Die W., dass beim ersten Wurf eine 1 kommt, ist 1/6.
Die W., dass beim ersten und beim zweiten Wurf eine 1 kommt, ist 1/6 * 1/6.
Die W., dass beim ersten und zweiten Wurf je eine 1 kommt, aber beim dritten eine andere Zahl, ist also
1/6 * 1/6 * 5/6.
Genauso ist die W., dass beim ersten und beim dritten Wurf jeweils eine 1 kommt, aber beim zweiten eine andere Zahl: 1/6 * 5/6 * 1/6.
Und ebenso, dass beim zweiten und beim dritten Wurf eine 1 kommt, aber beim ersten eine andere:
5/6 * 1/6 * 1/6
Das sind dreimal die gleichen Produkte, nur die Faktoren sind in unterschiedlicher Reihenfolge aufgeschrieben;
also ist die W., zweimal eine 1 zu haben und einmal eine andere Zahl:
3 * 1/6 * 1/6 * 5/6
Bis jetzt haben wir nur die W., berechnet, dass in zwei von drei Würfen eine 1 kommt.
Für die Zahlen 2 bis 6 gilt genau das Gleiche.
Also haben wir insgesamt die W., dass genau zweimal die gleiche Zahl kommt, aber einmal eine andere:
6 * 3 * 1/6 * 1/6 * 5/6 =
6 * 3 * (1/6)2 * 5/6
(abweichend von dem von Dir angegebenen Ergebnis - vielleicht hast Du Dich verschrieben)
Die W., dass zweimal oder dreimal die gleiche Augenzahl geworfen wird, beträgt also:
6 * 3 * (1/6)2 * 5/6 +
6 * 1/63 =
4/9
Jetzt stimmt das Ergebnis wieder :-)
Besten Gruß
