Versicherung abschließen. Im Jahr 2014 kostet der monatliche Beitrag 64,82€.

Question

Wie kann ich folgendes ausrechnen?

Ich möchte eine Versicherung abschließen.

Im Jahr 2014 kostet mich der monatliche Beitrag 64,82 Eur.

Die Versicherung läuft 43 Jahre bis einschließlich 2056.

Außerdem steigt der Beitrag bis 2049 jedes Jahr um 2%.

Was kostet mich dies Versicherung insgesamt in den 43 Jahren?

Vielen Dank,

Anna

Answer 1

Sei B_J der Jahresbeitrag im Jahr J.

Dann gilt für die Summe E der Einzahlungen:

$$E=\sum _{ k=2014 }^{ 2056 }{ { B }_{ k } }$$

Bis einschließlich 2049 steigt der Jahresbeitrag jedes Jahr um 2 %, beträgt also jeweils das 1,02-fache des Vorjahresbeitrages. Im Jahr 2015 ist daher der Jahresbeitrag

B₂₀₁₅ = 1,02 ¹ * B₂₀₁₄

im Jahr 2016 ist der Jahresbeitrag

B₂₀₁₆ = 1,02 * B₂₀₁₅ = 1,02 ² * B₂₀₁₄

usw. bis schließlich der Jahresbeitrag im Jahr 2049

B₂₀₄₉ = 1,02 ³⁵ * B₂₀₁₄ beträgt

Bis zum Ende des Jahres 2049 hat man daher

1,02 ⁰ * B₂₀₁₄ + 1,02 ¹ * B₂₀₁₄ + 1,02 ² * B₂₀₁₄ + ... + 1,02 ³⁵ * B₂₀₁₄

gezahlt, kurz:

$$\sum _{ k=0 }^{ 35 }{ { B }_{ 2014 }*{ 1,02 }^{ k } } ={ B }_{ 2014 }*\sum _{ k=0 }^{ 35 }{ { 1,02 }^{ k } }$$

Ab dem Jahr 2050 bis einschließlich 2056, also 7 weitere Jahre lang bleibt der Jahresbeitrag gleich, nämlich

B₂₀₅₀ = B₂₀₅₁ = ... = B₂₀₅₆ = 1,02 ³⁵ * B₂₀₁₄

sodass man in diesen 7 Jahren also insgesamt noch weitere

7 * 1,02 ³⁵ * B₂₀₁₄

Euro einzahlt.

Insgesamt hat man dann eingezahlt:

$$E={ B }_{ 2014 }\left( \sum _{ k=0 }^{ 35 }{ { 1,02 }^{ k }+7*{ 1,02 }^{ 35 } }  \right)$$

Nun ist

$$\sum _{ k=0 }^{ 35 }{ { 1,02 }^{ k } }$$

die 35-ste Partialsumme der geometrischen Reihe mit q = 1,02 und es gilt:

$$\sum _{ k=0 }^{ 35 }{ { 1,02 }^{ k } } = \frac { { 1,02 }^{ 36 }-1 }{ 1,02-1 } =51,99$$

Außerdem gilt: 7 * 1,02 ³⁵ = 14

sodass also insgesamt gilt:

$$E={ B }_{ 2014 }\left( 51,99+14 \right)={ B }_{ 2014 }*65,99$$

Der erste Jahresbeitrag B₂₀₁₄ ist vorliegend gleich

B₂₀₁₄ = 64,82 Euro * 12 = 777,84 Euro

und daher beträgt die konkrete Summe E der Einzahlungen in den 43 Jahren Laufzeit:

$$E={ B }_{ 2014 }*65,99=777,84*65,99=51329,66$$

Euro.

Das ist aber natürlich nur der reine Geldbetrag. Bedenkt man, dass man für dieses Geld, wenn man es anders angelegt hätte, Zinsen bekommen hätte, die man so nicht bekommt, so muss man auch diesen Zinsverlust als Zahlung betrachten. Einen Teil dieses Zinsverlustes erhält man am Ende der Laufzeit wieder zurück, weil die Versicherungsgesellschaften ihre Versicherungsnehmer "großzügig" am Geschäftsgewinn beteiligen. Ein großer Teil jedoch fließt unter anderem in die Porsches der Geschäftsführer der Versicherungsgesellschaft :-)