Untersuche ob das angebotene Fenster unter den beschriebenen Bedingungen in die Dachfläche eingebaut werden kann.

Question

Aufgabe:

Ein rechteckiges Dachfenster soll in die Dachfläche ABC eingebaut werden. Dabei soll sich eine Begrenzungslinie des Dachfenster auf der Seite c befinden und die Dachfensterfläche soll vollständig in der Dachfläche ABC liegen.

Maße des Dreiecks ABC:  a= 3 ; b=6,4 ; c=8

Ein Hersteller bietet ein Dachfenster mit einer Breite von 2,5m und einer Höhe von 1,5 m an. Untersuche ob das angebotene Dachfenster unter den beschriebenen Bedingungen in die Dachfläche ABC eingebaut werden kann.

Problem/Ansatz:

Ist eine Extremwertaufgabe oder?

Comments

https://www.mein-lernen.at/mathematik2/differentialrechnung/extremwertaufgaben/nb-strahlensatz/1242-uebung-1

Answer 1

Lege eine Skizze an und bezeichne Gegebenes und Gesuchtes:

Lösung ohne Differentialrechnung:

Berechne dann x und y als Lösungen des Systems

x²+y²=6,5²

(8-x)²+y²=3²

Ergebnis x≈6,1 und y≈2,3

Benutze dann einmal links und einmal rechts einen Strahlensatz und berechne so auf zwei Wegen z. Nur wenn diese beiden Zahlen z ungefähr übereinstimmen, kann das Fenster passen.

Comments

wie kommst du auf x und y? Wie machst du das mit 2 unbekannten?

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So weit wie möglich ausmultipliziern:

(1)            x²+y²=42,25

(2)64-16x+x²+y²=9

(2) - (1) 64-16x= -33,25  |-64

                 -16x= - 97,25  |:(-16)

                      x≈6,1

x=6,1 in Gleichung (1) einsetzen und nur die positive  Lösung für y nehmen: y≈2,2.

Wenn man mit genauen Zahlen rechnet, wird die Lösung genau.

Answer 2

Es ist nur gefragt, ob das Rechteck komplett in die Dreiecksfläche passt. Bei einer Extremwertaufgabe wären z.B. die Seitenlängen des Rechtecks mit maximalem Flächeninhalt gesucht. Finde zunächst heraus, welche Höhe h (bezüglich c) das Dreieck hat. Das gibt es mehrere Möglichkeiten, z.B. über das Gleichungssystem mit dem Satz von Pythagoras für die beiden rechtwinklingen Teildreiecke oder über die Heron-Formel oder mit Trigonometrie. Es ergibt sich h=3/400*\( \sqrt{88711} \)≈2,234. Sei d die zur Grundseite parallele Strecke in Höhe 1,5, deren Endpunkte auf a bzw. b liegen. Das obere Teildreieck ist ähnlich zum Gesamt-Dreieck, also gilt d/8 = (h-1,5)/h. Für d ≥ 2,5 passt das Rechteck.

Comments

Woraus leitest du das ab? d/8 = (h-1,5)/h

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Fertige eine Skizze an, ähnlich wie in der Lösung von Roland. Die Höhe habe ich mit h und nicht mit y benannt, und d nehme ich nicht als gegeben an. Im oberen Dreieck ist die Länge der Grundseite d und die Höhe h - 1,5. Im Gesamt-Dreieck ist die Grundseite 8 und die Höhe h. Aus der Ähnlichkeit ergibt sich die Verhältnisgleichung.

Answer 3

wie kommst du auf x und y? Wie machst du das mit 2 unbekannten?

Nach der Zeichnung von Roland gilt

x^2 + y^2 = 6.5^2 → y^2 = 6.5^2 - x^2

(8 - x)^2 + y^2 = 3^2 → y^2 = 3^2 - (8 - x)^2

Gleichsetzen

6.5^2 - x^2 = 3^2 - (8 - x)^2 → x = 389/64 = 6.078125

Dann kann auch y bestimmt werden.

y^2 = 6.5^2 - 6.078125^2 → y = 3·√2415/64 = 2.304

Nun der Strahlensatz

b/(2.304 - 1.5) = 8/2.304 → b =  2.792

Damit kann das Fenster eingebaut werden, da die maximale Breite b nicht überschritten wird.