Du hast eine Zielfunktion (1) und eine Nebenbedingung (2):
(1) \(U(x,y)=2x+y\) und (2) \(450=x·y\). Die Nebenbedingung löst du nach \(y\) auf und ersetzt das \(y\) in der Zielfunktion durch das Ergebnis.
Aus
$$ y=\frac { 450 }{ x } $$
folgt
$$ U(x)=2x+\frac { 450 }{ x } $$
Wir haben also die Variable \(y\) in der Zielfunktion eliminiert und können nun leicht die Ableitung dieser berechnen bestimmen und somit auch die Extremstellen.
$$ U'(x)=\left( 2x+\frac { 450 }{ x } \right) '=\left( 2x+450\cdot \frac { 1 }{ x } \right) '=\left( 2x+450\cdot { x }^{ -1 } \right) '=2-450\cdot { x }^{ -2 } \\ =2-\frac { 450 }{ { x }^{ 2 } } $$
Extremstellen:
$$ 0=2-\frac { 450 }{ { x }^{ 2 } } \\ \frac { 450 }{ { x }^{ 2 } } =2\\ 450=2\cdot { x }^{ 2 }\\ { x }^{ 2 }=225\\ x=15\quad \quad \quad \vee \quad \quad \quad x=-15 $$
\(x=-15\) kann keine Lösung sein, da die Länge der einen Seite des Zaunes schlecht \(-15m\) sein kann. Unser Definitionsbereich ist also übrigens \(]0,∞[\).
Nun müssen wir überprüfen, ob es sich bei der Stelle \(x=15\) um eine Extrempunkt handelt. Dazu bestimmen wir die zweite Ableitung und setzen für \(x\) einfach \(15\) ein und schauen, ob wir eine Zahl, die kleiner als Null, gleich Null oder größer als Null erhalten.
$$ U''(x)=\left( 2-\frac { 450 }{ { x }^{ 2 } } \right) ''=\left( 2-450\cdot { x }^{ -2 } \right) ''=-(-2)\cdot 450\cdot { x }^{ -3 }=\frac { 900 }{ { x }^{ 3 } } $$
Da
$$ U''(15)=\frac { 900 }{ { 15 }^{ 3 } } =\frac { 900 }{ 3375 } >0 $$
liegt an der Stelle \(x=15\) also ein lokales Minimum vor.
Nun müssen wir noch die Ränder der Funktion \(U(x)\) überprüfen.
Es gilt
$$ \lim _{ x\rightarrow 0\\ x>0 }{ U(x) } =\lim _{ x\rightarrow 0\\ x>0 }{ (2x+\frac { 450 }{ x } ) } =\lim _{ x\rightarrow 0\\ x>0 }{ 2x } +\lim _{ x\rightarrow 0\\ x>0 }{ \frac { 450 }{ x } } =0+\lim _{ x\rightarrow 0\\ x>0 }{ \frac { 450 }{ x } } =\infty $$
und
$$ \lim _{ x\rightarrow \infty }{ U(x) } =\lim _{ x\rightarrow \infty }{ (2x+\frac { 450 }{ x } ) } =\lim _{ x\rightarrow \infty }{ 2x } +\lim _{ x\rightarrow \infty }{ \frac { 450 }{ x } } =\lim _{ x\rightarrow \infty }{ 2x } +0=\infty $$
Somit liegt an der Stelle \(x=15\) sogar ein globales Minimum vor.
Nun setzen wir für \(x\) einfach \(15\) in die umgeformte Nebenbedinung ein und erhalten somit y.
$$ y=\frac { 450 }{ x } =\frac { 450 }{ 15 } =30 $$
Somit ist deine gesuchte Breite \(15m\) und deine gesuchte Länge \(30m\).
