Fragen zu Polynom 4.Grades

Question

welche aussagen sind falsch/wahr?!

(über polynom 4.Grades mit nur reellen Koeefizienten)

1 - es besitzt 3 komplex und 1 reelle NS

2 - es besitz nur reelle NS

3 - es besitzt 3 reelle und 1 komplexe NS

4 - es besitzt 2 reelle NS und 2 komplexe NS

5 - es besitzt 4 komplexe NS, die alle gleich sind

6 - es besitzt 2 komplexe NS mit unteschiedl. Betrag und 2 reelle NS

Könnt ihr mir das bitte erklären...?!

Comments

Bei (2) z.B. x⁴, bei (4) z.B. (x²-1)·(x²+1), falls es sich um Existenzaussagen handeln sollte.

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Ist die Frage hier, jedes Polynom 4'ten Grades hat die 6 Eigenschaften oder ist die Frage, es gibt ein Polynome 4'ten Grades mit den 6 Eigenschaften?

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die frage ist nur welche der eigenswchaften nicht auf so ein polynom zutreffen...

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Das hilt doch auch nicht weiter. Du hast doch kein konkretes Polynom angeben. Z.B. das Polynom $$ p(x) = x^4 +1  $$ hat keine reelle Nullstellen und 4 verschieden komplexe Nullstellen. Damit sind alle Punkte mit Nein zu beantworten.

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nein, gegeben ist nur die AUssage... "Polynom 4. Grades mit ausschießlich reellen Koeffizienten..."

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$$ x^4 +1  $$ ist ein Polynom 4'ten Grades mit reellen Koeffizienten und erfüllt keinen der 6 Punkte. Und Deine Antowert mit "nein..." was soll das bedeuen? Ich hab doch gar keine Frage gestellt. Auf was hast Du also geantwortet.

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habs nicht schlecht gemeint :) hab verstanden du meinst ob ich auch ein Polynom gegeben habe. :) Thx

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Ja hast Du eins oder nicht?

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nein, gegeben ist nur die AUssage... "man hat ein Polynom 4. Grades mit ausschießlich reellen Koeffizienten..."

;-)

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Ok, dann würde ich das so interpretieren, dass es ein beliebiges Polynom 4'ten Grades ist mit reellen Koefizienten.

Mein Beispiel Polynom ist so eins. D.h. alle Fragen sind mit nein zu beantworten.

Ich werde das jetzt auch als Antwort posten.

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Wie genau müsst ihr die Fragestellungen nehmen?

Wenn da "komplexe Nullstellen" steht, heisst das ja nicht, dass die nicht reell sein dürfen, denn z = 2 = 2 + 0*i ist ja eine Element von ℂ.

Falls ihr das wissen müsst, sollte man nichtreell nicht mit komplex bezeichnen.

Answer 1

Polynom 4.Grades mit nur reellen Koeffizienten)
Eine ungerade Zahl komplexer NS kann es nicht geben.

Eine vierfache komplexe NS kann es nicht geben.

Comments

Warum kann es nicht zwei doppelte komplexe NS geben? Z.B. (x²+1)².

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@Spacko: Du hast recht. Habe das korrigiert.

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also du meinst sozusagen, dass Nummer 1, 3 und 5 falsch sind? die anderen sind also wahr?

Warum geht keine 4fache NS?

Answer 2

Ok, dann würde ich das so interpretieren, dass es ein beliebiges Polynom 4'ten Grades ist mit reellen Koefizienten.

Mein Beispiel Polynom ist so eins. D.h. alle Fragen sind mit nein zu beantworten.

Ich werde das jetzt auch als Antwort posten.

Answer 3

Irreduzible Polynome sind im Reellen entweder quadratisch oder linear, und im Komplexen nur linear (Fundamentalsatz der Algebra). Ein im Reellen irreduzibles quadratisches Polynom lässt sich also komplex zerlegen.

Ein Polynom von Grad vier kann somit im Reellen zerlegt werden in

-- 2 quadratische,

-- 1 quadratisches und 2 lineare,

-- 4 lineare Polynome.

Damit:

(1) nicht möglich; komplexe Nullstellen kommen immer paarweise vor;

(2) möglich;

(3) siehe (1);

(4) möglich;

(5) 4 komplexe Nullstellen sind zwar möglich, aber das sind 2 Paare konjugiert komplexer Nullstellen;

(6) 2 komplexe und 2 reelle sind zwar möglich; da die komplexen aber konjugiert zueinander sind, haben sie den gleichen Betrag.