Begründen Sie, warum 7 ein Eigenwert von A ist.

Question

Sei A∈M_s(ℝ) die Matrix

\( \begin{pmatrix} 7 & -1 & -1 & 4 & -3 & 8 & 1 & 7 \\ 6 & 0 & -1 & 8 & 8 & 7 & -3 & -11\\ 0 & 0 & 7 & 1 & 0 & 0 & 6 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 4 & -3 & 0 & -1 & 10\\ 0 & 0 & -4 & -3 & 8 & 0 & -1 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 6 & 7 & -5 & 3\\ 0 & 0 & 9 & -2 & 9 & 0 & 7 & -2\\ 0 & 0 & -2 & 3 & -8 & 0 & 6 & 5   \end{pmatrix} \)

Folgende zwei Aufgaben:

1.) Begründen Sie, warum 7 ein Eigenwert von A ist.

2.) Finden Sie einen weiteren Eigenwert von A, und einen Eigenvektor zu diesem Eigenwert

Ich hatte jetzt schon öfters das vergnügen, bei einer solch großen Matrix Eigenwerte zu bestimmen. Ich habe es bisher immer über das Schachbrettmuster versucht. Nur da brauch ich unheimlich lange für. Gibt es irgend einen Trick, wie ich die Eigenwerte anders berechnen kann?

Answer 1

Stichwort: Blockmatrizen

$$ A = \begin{pmatrix} 7 & -1 & -1 & 4 & -3 & 8 & 1 & 7 \\ 6 & 0 & -1 & 8 & 8 & 7 & -3 & -11\\ 0 & 0 & 7 & 1 & 0 & 0 & 6 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 4 & -3 & 0 & -1 & 10\\ 0 & 0 & -4 & -3 & 8 & 0 & -1 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 6 & 7 & -5 & 3\\ 0 & 0 & 9 & -2 & 9 & 0 & 7 & -2\\ 0 & 0 & -2 & 3 & -8 & 0 & 6 & 5  \end{pmatrix} $$

Dann ist:

$$ \begin{aligned} \det( A - \lambda E_8 ) &= \left\lvert \begin{matrix} 7 - \lambda & -1 & -1 & 4 & -3 & 8 & 1 & 7 \\ 6 & 0 - \lambda & -1 & 8 & 8 & 7 & -3 & -11\\ 0 & 0 & 7 - \lambda & 1 & 0 & 0 & 6 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 4 - \lambda & -3 & 0 & -1 & 10\\ 0 & 0 & -4 & -3 & 8 - \lambda & 0 & -1 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 6 & 7 - \lambda & -5 & 3\\ 0 & 0 & 9 & -2 & 9 & 0 & 7 - \lambda & -2\\ 0 & 0 & -2 & 3 & -8 & 0 & 6 & 5   - \lambda\end{matrix} \right\rvert \\ &= \left\lvert \begin{matrix} 7 - \lambda & -1\\ 6 & -\lambda \end{matrix} \right\rvert \left\lvert \begin{matrix}  7 - \lambda & 1 & 0 & 0 & 6 & 1\\  1 & 4 - \lambda & -3 & 0 & -1 & 10\\  -4 & -3 & 8 - \lambda & 0 & -1 & 2\\  5 & 1 & 6 & 7 - \lambda & -5 & 3\\  9 & -2 & 9 & 0 & 7 - \lambda & -2\\  -2 & 3 & -8 & 0 & 6 & 5  - \lambda\end{matrix} \right\rvert  \\ &= (7-\lambda)  \left\lvert \begin{matrix} 7 - \lambda & -1\\ 6 & -\lambda \end{matrix} \right\rvert \left\lvert \begin{matrix}  7 - \lambda & 1 & 0 & 0 & 6 & 1\\  1 & 4 - \lambda & -3 & 0 & -1 & 10\\  -4 & -3 & 8 - \lambda & 0 & -1 & 2\\  5 & 1 & 6 & 1 & -5 & 3\\  9 & -2 & 9 & 0 & 7 - \lambda & -2\\  -2 & 3 & -8 & 0 & 6 & 5  - \lambda\end{matrix} \right\rvert\end{aligned} $$

Dabei wurde im letzten Schritt der Faktor \( 7 - \lambda \) aus der 4. Spalte der zweiten Determinante gezogen (die Determinante ist eine Multilinearform!). In der Faktorisierung des charakteristischen Polynoms taucht also auf jeden Fall der Faktor \( 7 - \lambda \) auf, d.h. 7 ist eine Nullstelle und damit auch ein Eigenwert der Matrix.

Zwei weitere Eigenwerte bekommst du, wenn du die 2x2 Determinante ausrechnest: 1 und 6. Jetzt könnte man einen Eigenvektor ausrechnen.

[spoiler]

Für den EW 1 z.B. \( (1,6,0,0,0,0,0,0)^T \)

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