Integration einer Exponentialfunktion mit gauß'schen Abrundungsklammern

Question

Aufgabe: ∫₀^ln(n+1)⌊e^x⌋dx

Problem/Ansatz:

Ich soll dieses Integral in den Grenzen 0 bis ln(n+1) berechnen. Bei den Klammern handelt es sich um gauß'sche Abrundungsklammern. Ich weiß aber nicht ob ich mit der Gaußklammer integrieren darf oder nicht. Ansonsten fällt mir kein weiterer Weg ein. Ich wär zufrieden, wenn ihr mir helfen würdet.

MFG

Answer 1

Aloha :)$$I=\int\limits_0^{\ln(n+1)}\lfloor e^x\rfloor\,dx$$Setze: \(y:=e^x\;\;;\;\;\frac{dy}{dx}=e^x=y\;\Leftrightarrow\;dx=\frac{dy}{y}\;\;;\;\;y(0)=1\;\;;\;\;y(\ln(n+1))=n+1\)

$$I=\int\limits_1^{n+1}\lfloor y\rfloor\frac{dy}{y}=\int\limits_1^2\lfloor y\rfloor\frac{dy}{y}+\int\limits_2^3\lfloor y\rfloor\frac{dy}{y}+\cdots+\int\limits_n^{n+1}\lfloor y\rfloor\frac{dy}{y}=\sum\limits_{k=1}^{n}\int\limits_k^{k+1}\lfloor y\rfloor\frac{dy}{y}$$$$\phantom{I}=\sum\limits_{k=1}^{n}\int\limits_k^{k+1}k\,\frac{dy}{y}=\sum\limits_{k=1}^{n}k\int\limits_k^{k+1}\frac{dy}{y}=\sum\limits_{k=1}^{n}k\left[\ln(y)\right]_k^{k+1}=\sum\limits_{k=1}^n\left(k\ln(k+1)-k\ln(k)\right)$$$$\phantom{I}=\sum\limits_{k=1}^nk\ln(k+1)-\sum\limits_{k=1}^nk\ln(k)=\sum\limits_{k=1}^nk\ln(k+1)-\sum\limits_{k=0}^{n-1}(k+1)\ln(k+1)$$$$\phantom{I}=\sum\limits_{k=1}^nk\ln(k+1)-\sum\limits_{k=0}^{n-1}k\ln(k+1)-\sum\limits_{k=0}^{n-1}\ln(k+1)=$$$$\phantom{I}=n\ln(n+1)-\sum\limits_{k=0}^{n-1}\ln(k+1)=n\ln(n+1)-\sum\limits_{k=1}^{n}\ln(k)$$$$\phantom{I}=n\ln(n+1)-\ln(n!)=\ln\left(\frac{(n+1)^n}{n!}\right)$$

Answer 2

Teile das Integrationsintervall in geeignete Teilintervalle auf. Dies kann man auf einfache Weise so machen, dass der Integrand innerhalb jedes dieser Teilintervalle konstant ist.

So kann man das bestimmte Integral in eine Summe von Einzelbeiträgen verwandeln.

Jetzt hoffe ich, dass dieser Hinweis schon genügt, um dich zufrieden zu machen.