Gerade - Ebene Aufgaben

Question

Hi zusammen ich habe eine Frage bei der ich nicht weiss wie ich vorgehen soll ,

Die Ebene E: x -2*y+ 3*z +7= 0 und die Punkte A( -3 / 5/-1) , B(-1/3/0) , C(4/1/3) ,D(7/1/ 5) ,E(-5/-2/10) und F(-3/-1/ 7) sind gegeben .

a) Zeige , dass sich die Geraden g1=AB ,g2=CD und g3=EF in einem Punkt S schneiden . Bestimme die Koordinaten von S .

g1 : (x/y/z) = (-3 / 5 / -1) +r*(2 /-2 / 1)

g2 : (x/y/z) = (4 / 1 / 3) +s*(3 / 0 / 2)

g3 : (x/y/z) = (-5 / -2 / 10) +t*(2 / 1 / -3)

wie kann ich jetzt die drei Geraden schneiden ??? soll ich je zwei schneiden oder gibt es eine andere Lösungsweise ???

danke euch im Voraus :)

Answer 1

Schneide je weit der Geraden. Also g1 und g2 und g1 und g3. Das sollte denselben Schnittpunkt geben

[-3, 5, -1] + r·[2, -2, 1] = [4, 1, 3] + s·[3, 0, 2]
r = 2 ∧ s = -1
[-3, 5, -1] + 2·[2, -2, 1] = [1, 1, 1]

[-3, 5, -1] + r·[2, -2, 1] = [-5, -2, 10] + s·[2, 1, -3]
r = 2 ∧ s = 3
[-3, 5, -1] + 2·[2, -2, 1] = [1, 1, 1]

Der gemeinsame Schnittpunkt ist also [1, 1, 1].

Answer 2

Schneide zwei der Geraden, bestimme den Schnittpunkt und mache die Punktprobe mit der dritten Geraden.

( -3 | 5 | -1 ) + r * ( 2 | -2 | 1) = ( 4 | 1 | 3 ) + s * ( 3 | 0 | 2 )

<=> ...

<=> r = 2 , s = - 1

Bestimmung des Schnittpunktes durch Einsetzen von r in die erste (oder auch Einsetzen von s in die zweite) Gleichung:

( x | y | z ) = ( -3 | 5 | -1 ) + 2 * ( 2 | -2 | 1 ) = ( 1 | 1 | 1 )

Punktprobe mit der dritten Gleichung:

Gibt es ein t sodass gilt: ( 1 | 1 | 1 ) = ( -5 | -2 | 10 ) + t * ( 2 | 1 | -3 ) ?

1 = - 5 + 2 t <=> t = 3

1 = - 2 + 3 * 1 (passt)

1 = 10 + 3 * ( - 3 ) (passt)

Comments

Ja. Das ist noch eleganter mit der Punktprobe.
DH.

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Naja, der Rechenaufwand ist aber auch nur unwesentlich geringer als bei deiner Methode.