Hin-richtung: Sei \(M\) invertierbar. Dann ist \(M\in GL_n(K)\), der Gruppe der invertierbaren nxn-Matrizen über \(K\). Da \(K\) endlich ist, ist \(GL_n(K)\) eine endliche Gruppe, damit besitzt jedes seiner Elemente endliche Ordnung (falls das nicht gegeben ist, das ist eine sehr einfache Übung), damit existiert ein k mit \(M^k = 1_n\).
Rückrichtung: Existiere ein k, sodass \(M^k = 1_n\). Dann ist offensichtlich \(M^{k-1}\) die Inverse Matrix zu \(M\).
