Bestimme die Nullstellen einer Funktion (abc Formel)

Question

Aufgabe:

Bestimme die Nullstellen von folgenden Funktionen:

1. g(x) = -x² + 10x - 25

2. h(x) = 0,5x² - 2x + 2

Ich soll das mit der abc Formel machen.

Problem/Ansatz:

… kann mir jemand zeigen wie das genau funktioniert wäre echt nett damit ich endlich wieder weiß wie das funktioniert.

Answer 1

Hallo Alex,

zunächst gilt es, die Parameter \(\colorbox{#ffff00}{a}\), \(\colorbox{#ff8888}b\) und \(\colorbox{#88ff88}c\) in der Gleichung zu identifizieren. Beachte dabei, dass wenn kein Faktor vor einem \(x\) oder nur ein Minuszeichen dort steht, dann ist der jeweiliege Parameter \(1\) bzw. \(-1\). Weiter solltest Du darauf achten, dass Minuszeichen immer mit zum Parameter gehören. Allgemein gilt $$ 0 = \colorbox{#ffff00}{a} \cdot x ^2 + \colorbox{#ff8888}{b} \cdot x + \colorbox{#88ff88}{c} $$ Für die erste Gleichung ist $$\begin{aligned} 0 &= (\colorbox{#ffff00}{-1})\cdot x ^2 + \colorbox{#ff8888}{10} \cdot x \colorbox{#88ff88}{-25} \end{aligned}$$Also ist hier \(\colorbox{#ffff00}{a} = -1\), \(\colorbox{#ff8888}b = 10\) und \(\colorbox{#88ff88}c = -25\)

Die abc-Gleichung lautet $$x_{1,2} = \frac{- \colorbox{#ff8888}b \pm \sqrt{\colorbox{#ff8888}b^2 - 4\colorbox{#ffff00}{a} \colorbox{#88ff88}c}}{2 \colorbox{#ffff00}{a}}$$Jetzt einfach einsetzen$$x_{1,2} =\frac{- \colorbox{#ff8888}{10} \pm \sqrt{\colorbox{#ff8888}{10}^2 - 4\colorbox{#ffff00}{(-1)} \colorbox{#88ff88}{(-25)}}}{2 \cdot \colorbox{#ffff00}{(-1)}} = \frac{-10 \pm \sqrt{0}}{-2}= 5 $$Im zweiten Fall ist $$\begin{aligned} 0 &= \colorbox{#ffff00}{0,5} \cdot x ^2 \colorbox{#ff8888}{-2} \cdot x + \colorbox{#88ff88}{2} \\ \implies x_{1,2} &= \frac{- \colorbox{#ff8888}{(-2)} \pm \sqrt{\colorbox{#ff8888}{(-2)}^2 - 4 \cdot \colorbox{#ffff00}{0,5} \cdot \colorbox{#88ff88}2}}{2 \cdot \colorbox{#ffff00}{0,5}} \\ &= \frac{2 \pm \sqrt{0}}{1} = 2\end{aligned}$$Wenn man nun die Graphen anschaut, sieht man, dass die Ergebnisse Sinn machen. Du bekommst zweimal eine doppelte Nullstelle

~plot~ -x^2+10x-25;0,5x^2-2x+2;{2|0};{5|0};[[-3|9|-4|5]] ~plot~

Gruß Werner

Answer 2

Aloha :)

Die \(abc\)-Formel ist viel zu kompliziert, du kannst stattdessen die einfachere \(pq\)-Formel verwenden.$$-x^2+10x-25=0$$Im ersten Schritt dividierst du die ganze Gleichung durch die Zahl, die vor dem \(x^2\) steht. Das ist der wichtige Schritt, der dir die \(abc\)-Formel erspart. Hier steht vor dem \(x^2\) ein Minuszeichen, also dividierst du die ganze Gleichung durch \((-1)\):$$x^2\underbrace{-10}_{=p}x\underbrace{+25}_{=q}=0$$Die Zahl vor dem \(x\) ist \(p\) und die Zahl ohne \(x\) ist \(q\). Jetzt setzt du einfach in die Formel ein:$$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}=5\pm\sqrt{25-25}=5$$

Bei der zweiten Aufgabe dividierst du zuerst durch die \(0,5\), weil die vor dem \(x^2\) steht und wendest dann die \(pq\)-Formel an:$$0,5x^2-2x+2=0$$$$x^2\underbrace{-4}_{=p}x\underbrace{+4}_{=q}=0$$$$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}=2\pm\sqrt{4-4}=2$$

Answer 3

ABC-Formel
x = (-b ± √(b^2 - 4·a·c))/(2·a)

Du brauchst nur einsetzen und ausrechnen. Wo ist genau das Problem

1. g(x) = -x² + 10x - 25

x = (-10 - √(10^2 - 4·(-1)·(-25)))/(2·(-1)) = 5
x = (-10 + √(10^2 - 4·(-1)·(-25)))/(2·(-1)) = 5

2. h(x) = 0,5x² - 2x + 2

x = (-(-2) - √((-2)^2 - 4·(0.5)·2))/(2·0.5) = 2
x = (-(-2) + √((-2)^2 - 4·(0.5)·2))/(2·0.5) = 2

Answer 4

Hallo,

Beachte: Ich soll das mit der abc Formel machen.

Dann mußt Du das auch so machen .

allgemein gilt:

Gleichung: \( a x^{2}+b x+c=0 \)

Ergebnis: \( x_{1 / 2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \)

1)

a= -1

b= 10

c= -25

eingesetzt:

x_1,2= 5