Aufgabe:
Sei f definitiert durch f((x1, x2,x3)T) = \( \begin{pmatrix} x1-x3\\x2+x3\\x1-x3\\x2-x1 \end{pmatrix} \) auf dem Körper der reellen Zahlen.
a) Gebe die Darstellungsmatrix an.
b) Bestimme eine Basis von f(ℝ³) bzgl der Standardbasen des ℝ³ und ℝ4
Bestimme eine Unterraum mit ℝ^4 = f(ℝ³) ⊕ U.
Ist U eindeutig bestimmt? Ist f injektiv bzw. surjektiv?
c) Gebe, falls möglich, eine lineare Abbildung g: ℝ^4→ℝ³ mit g(f(v)) = v für alle v aus ℝ³ an.
Problem/Ansatz:
a) Darstellungsmatrix: \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \)
b) Gibt es ein Verfahren, um so einen Vektor schnell zu bestimmen? Ich habe mir das LGS angeschaut und mit dem geratenen Vektor \( \begin{pmatrix} 1\\0\\-1\\0 \end{pmatrix} \) kommt raus, dass die vier Vektoren linear unabhängig sind.
Ist U jetzt nicht eindeutig, weil es noch andere Vektoren gibt?
Bei der Prüfung zur Injektivität bin ich nicht weitergekommen, als das Gleichungssystem aufzustellen, also f(x) = f(x'), dann habe ich aber 8 Unbekannte und 4 Gleichungen, die ich nicht lösen kann.
Ich hätte gesagt, dass f nicht surjektiv ist, da der Vektor \( \begin{pmatrix} 1\\0\\-1\\0 \end{pmatrix} \) nicht durch f abgebildet werden kann.
c) Wenn f nicht surjektiv wäre, dann gäbe es doch auch kein g, da g ja die Umkehrfunktion zu f sein müsste, oder?
Vielen Dank schonmal <3
