Bestimmen Sie die letzten Beiden Ziffern von 7^121

Question

Aufgabe:

Hallo Leute, ich bin am lernen und soll die letzten beiden Ziffern von 7¹²¹  bestimmen.

Problem/Ansatz:

Also n=100 und a=7.

Ich hab zuerst den ggT(100;7)=1 bestimmt.

Dann habe ich φ(100)=40 bestimmt.

Nun komme ich auf 7⁴⁰ = 1 mod 100 stehen.

Doch wie geht es nun weiter?

Und wie Berechne ich 16¹⁴⁴ = x mod 315?

Comments

16¹⁴⁴ = (16³)⁴⁸ = 4096⁴⁸ ≡ 1⁴⁸ mod 315.

Answer 1

7^4 endet auf 1 .

also auch 7^4 * 7^4 = 7^8

und 7^4*7^4*7^4 = 7^12

also endet 7^n jedenfalls auf 1, wenn n ein Vielfaches von 4 ist

und somit endet 7^120 auf 1 und damit 7^121 auf 7.

Comments

wie kommst du auf die 7⁴ ist das von der 7^40?

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Habe einfach ausprobiert wie oft man 7 mit sich malnehmen muss,

damit die letzte Ziffer eine 1 ergibt .

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7*7 = ...9

7*7*7*7= ..9*..9=..1

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jetzt verstehe ich endlich. Die 2 und 3 Zeile dienen sozusagen als Beweis.

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Sagen wir mal: Zum Entdecken der

Tatsache, dass 7^n auf 1 endet, wenn n durch 4 teilbar ist.

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kann ich jetzt auch wenn ich rechne:

7^{121 =}7^3*40+1=(7⁴⁰)³ *7¹ 

7⁴⁰= 1 mod 100

dann bleibt quasi ja die ()³ und 7 übrig. Dann kann ich doch dann auch 1³ *7=7 sagen?

Ist dies auch so richtig?

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s.u., bis auf die Schreibweise!

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Für die letzte Ziffer reicht doch mod 10 .

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@mathef ich habe es mit dem aus der aufgabe gemacht. Ist das etwa falsch?

@Helmus. Danke

Answer 2

Du schreibst:

7⁴⁰ ≡ 1 (mod 100)

also 7⁴⁰ *7⁴⁰ *7⁴⁰ = 7¹²⁰ ≡ 1 (mod 100)*1 (mod 100)*1 (mod 100) Ξ(1 mod 100)          hinten steht eine 1

dann mal 7: hinten steht eine 7.