Servus :)
Du weißt, dass die gesuchte Funktion eine 3. Grades ist, also der Form \(ax^3+bx^2+cx+d=y\). Wir haben mit der von dir gegebenen Tabelle die Möglichkeit ein Gleichungssystem aufzustellen:
\([1]:a\cdot 0^3 + b\cdot 0^2 + c\cdot 0 + d=14\)
\([2]:a\cdot 2^3 + b\cdot 2^2 + c\cdot 2 + d=40\)
\([3]:a\cdot 4^3 + b\cdot 4^2 + c\cdot 4 + d=50\)
\([4]:a\cdot 6^3 + b\cdot 6^2 + c\cdot 6 + d=92\)
Jetzt haben wir ein Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 4 unbekannten. Das heißt, wir sollten ein eindeutiges Ergebnis bekommen.
Die Erste Gleichung ist relativ offensichtlich, da alle Variablen, die mit 0 multipliziert werden, "wegfallen". Die restlichen Gleichungen rechne ich im nächsten Schritt aus und setzte \(d=14\) schon mal ein:
\([1]:d=14\)
\([2]:8a + 4b + 2c + 14=40\)
\([3]:64a + 16b + 4c + 14=50\)
\([4]:216a + 36b + 6c + 14=92\)
Nun stelle ich Gleichung \([2]\) nach \(c\) um:
\(c=\frac{26-8a-4b}{2}\)
Dieses \(c\) setze ich jetzt in Gleichung \([3]\) ein und stelle sie nach \(b\) um:
\([3]:64a + 16b + 4(\frac{26-8a-4b}{2}) + 14=50 \)
\(64a + 16b + (52-16a-8b) + 14=50\)
\(64a + 16b + 52-16a-8b + 14=50\)
\(48a + 8b + 66=50\)
\(b=\frac{50-66-48a}{8}=\frac{-16-48a}{8}=-2-6a\)
Nun setzte ich die Werte für \(b\), \(c\) und \(d\) in die Gleichung \([4]\) ein.
\([4]:216a+36(-2-6a)+6(\frac{26-8a-4b}{2})=92\)
Auch hier bleibt noch ein \(b\) übrig, welches ich jetzt nochmals einsetze:
\([4]:216a-72-216a+6(\frac{26-8a-4(-2-6a)}{2})\)
\(=216a-72-216a+6(14-4a+4+12a)\)
\(=216a-72-216a+84-24a+24+78a\)
\(=54a+36=92\)
\(\Leftrightarrow a=\frac{92-36}{54}=\frac{28}{27}\)
Nun setze ich den Wert für \(a\) in die Geichung für \(b\) ein.
\(b=-2-6a=-2-6(\frac{28}{27})=-2-\frac{168}{27}=\frac{222}{27}=\frac{74}{9}\)
Und zuletzt errechne ich mit der selben Methode \(c\):
\(c=\frac{26-8a-4b}{2}=\frac{26-8(\frac{28}{27})-4(\frac{74}{9})}{2}=\frac{26-(\frac{224}{27})-(\frac{296}{9})}{2}=-\frac{205}{27}\)
Somit nehmen wir diese werte für die fertige Funktion, welche nun wie folgt lautet:
\(K(x)=\frac{28}{27}x^3+\frac{74}{9}x^2+-\frac{205}{27}x+14\)
Bitte rechne auf jeden Fall nochmal nach, ich kann nicht garantieren, dass ich keine Rechenfehler gemacht habe.
LG
