Grenzwert von xx warum gleich 1

Question

Hallo Community,

ich habe ein Verständnisproblem bei der folgenden Aufgabe:

$\quad \lim \limits_{x \rightarrow 0} x^{x}$

$x^x=exp (x\cdot ln(x))$

Aus der Vorlesung bekannt

$\quad \lim \limits_{x \rightarrow 0}\quad x\cdot ln(x)=0$

Da exp stetig ist, folgt

$\quad \lim \limits_{x \rightarrow 0} x^{x} =1$

Problem/Ansatz:

Das wäre die Lösung doch so richtig schlau werde ich nicht warum es dann 1 ergibt. Am Ende die Umformung bis zu x * ln(x) verstehe ich auch noch und dass der Grenzwert davon 0 ergibt ist auch bei mir klar. Nur wie kommt mein Prof auf die 1 am Ende? Dieses da exp stetig ist als Begründung verstehe ich nicht so ganz. Was bedeutet das anschaulich?

Vielen Dank im Voraus

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noch ein Hinweis, was kein mathematischer Beweis, aber doch recht anschaulich ist. Substituiere in $x^x$ das $x$ mit $x=e^{-z}$. Offensichtlich läuft für $z \to \infty$ das $x \to 0$. Und schauen wir uns doch mal an, was bei größer werdenden $z$ passiert:

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f₁(x) = (e^(-x))^(e^(-x))f₂(x) = 1Zoom: x(-2…20) y(-1…3)

es sieht nicht so aus, dass sich der blaue Graph von $(e^{-z})^{(e^{-z})}$ jemals wieder von der roten Geraden $f(z)=1$ löst - oder?

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Danke Werner-Salomon für diese Erklärung und für deine Mühen. Anschaulich habe ich es jetzt auch verstanden. Echt einfach wenn man jetzt sowohl mathematisch als auch anschaulich versteht was genau geschieht. Nur eine Frage wie soll man auf das e^(-z) kommen? Ist das eine feste Regel oder passt das einfach perfekt für die Erklärung und man muss bisschen "Erfahrung" haben um darauf zu kommen? Bin Erstsemester deswegen sehe ich das leider nicht sofort ein ^^

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wie soll man auf das e^(-z) kommen?

Gute Frage! .. da denke ich schon gar nicht mehr drüber nach ;-)

Die Motivation ist zunächst mal, sich graphisch anzuschauen, was macht $x^x$, wenn $x \to 0$ geht. Der Graph ist

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f₁(x) = x^x

dort sieht man ihn in so einer 'scharfen Kurve' in den Punkt $(0;\, 1)$ rein laufen. Aber wer sagt einen nun, dass das auch so bleibt ? Jetzt kann man bereits hier in den Graphen hinein zoomen. Versuche das bitte mal - aber letztlich bring es nicht mehr Erkenntnis.

Wir brauchen also eine Lupe. Eine 'mathematische Lupe', mit deren Hilfe man diesen Bereich vor der $0$ beliebig vergrößern kann. Also z.B. irgendeine Funktion, die gegen $0$ geht, wenn ihre Variable gegen unenedlich läuft. Also auch$$f(z) = \frac 1z$$Dann sähe das so aus

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f₁(x) = (1/x)^(1/x)f₂(x) = 1

Ist aber irgendwie noch nicht genug. Für $z=10$ ist $1/z=0,1$ da ist noch keine Musik drin, wenn wir nah an die $0$ heran wollen, scheint der Weg noch weit. Nehmen wir besser eine Exponentialfunktion - z.B.: $2^{-z}$. Für $z=10$ sind wir hier schon bei $2^{-10} \approx 0,001$. Und weil die Exponentialfunktion schleichthin die e-Funktion ist, habe ich eben diese gewählt.

Die nächste Wahl könnte dann vielleicht $x=1/a(z,z)$ sein. Wobei $a$ die Ackermannfunktion ist. Das kann aber der Plotlux-Plotter nicht ;-)

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Vielen lieben Dank für deine Antwort und deine Mühen. Mein Verständnis dafür ist um einiges gestiegen. Jetzt ist auch alles klar für mich. 

Answer 1

Hallo,

siehe hier:

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Danke das Video ist echt super ^^

Answer 2

Hallo,

die e-Funktion ist stetig, dass bedeutet der Grenzwert kann in die e-Funktion reingezogen werden:

lim x → 0 exp(xln(x))

=exp(lim x → 0 x ln(x))

und den inneren Grenzwert kennst du bereits aus der Vorlesung

=exp(0)=1

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Danke für deine Hilfe ^^