wie soll man auf das e^(-z) kommen?
Gute Frage! .. da denke ich schon gar nicht mehr drüber nach ;-)
Die Motivation ist zunächst mal, sich graphisch anzuschauen, was macht \(x^x\), wenn \(x \to 0\) geht. Der Graph ist
~plot~ x^x ~plot~
dort sieht man ihn in so einer 'scharfen Kurve' in den Punkt \((0;\, 1)\) rein laufen. Aber wer sagt einen nun, dass das auch so bleibt ? Jetzt kann man bereits hier in den Graphen hinein zoomen. Versuche das bitte mal - aber letztlich bring es nicht mehr Erkenntnis.
Wir brauchen also eine Lupe. Eine 'mathematische Lupe', mit deren Hilfe man diesen Bereich vor der \(0\) beliebig vergrößern kann. Also z.B. irgendeine Funktion, die gegen \(0\) geht, wenn ihre Variable gegen unenedlich läuft. Also auch$$f(z) = \frac 1z$$Dann sähe das so aus
~plot~ (1/x)^(1/x);1 ~plot~
Ist aber irgendwie noch nicht genug. Für \(z=10\) ist \(1/z=0,1\) da ist noch keine Musik drin, wenn wir nah an die \(0\) heran wollen, scheint der Weg noch weit. Nehmen wir besser eine Exponentialfunktion - z.B.: \(2^{-z}\). Für \(z=10\) sind wir hier schon bei \(2^{-10} \approx 0,001\). Und weil die Exponentialfunktion schleichthin die e-Funktion ist, habe ich eben diese gewählt.
Die nächste Wahl könnte dann vielleicht \(x=1/a(z,z)\) sein. Wobei \(a\) die Ackermannfunktion ist. Das kann aber der Plotlux-Plotter nicht ;-)
