schiefes Galton Brett Wahrscheinlichkeiten

Question

Aufgabe:Beim Galton-Brett werden viele Kugeln durch ein Labyrinth geschickt. An den Hindernissen springen sie mit Wahrscheinlichkeit 50% nach links oder rechts. Wenn das Brett allerdings schief gehalten wird, springen die Kugeln nicht mehr mit gleichen Wahrscheinlichkeiten nach links und rechts.

Wir betrachten den Fall,dass mit Wahrscheinlichkeit  25% nach links und 75% nach rechts springen. 4096 Kugeln werden oben eingeworfen.

Wie viele Kugeln werden voraussichtlich in den acht Schächten unten ankommen ? Notiere auch die Zwischenstände bei den einzelnen Hindernissen.

Answer 1

Aloha :)

Die 4096 Kugeln teilen sich auf Stufe 1 zu 1024 nach links und 3072 nach rechts auf. Auf Stufe 2 fallen von den 1024 etwa 256 Kugeln nach links und 768 nach rechts. Zu diesen 768 kommen von Seite der 3072 noch 768 dazu, sodass im mittleren Schacht 1536 Kugeln ankommen. Nach rechts fallen 2304 Kugeln. Du musst also auf jeder Stufe darauf achten, dass (außer an den Außenrändern) sowohl von der rechten Seite als auch von der linken Seite Kugeln in einen Schacht fallen. Das ergibt dann folgendes Bild:

4096

1024 | 3072

256 | 1536 | 2304

64 | 576 | 1728 | 1728

16 | 192 | 864 | 1728 | 1296

4 | 60 | 360 | 1080 | 1620 | 972

1 | 18 | 135 | 540 | 1215 | 1458 | 729

0 | 5 | 47 | 236 | 709 | 1276 | 1276 | 547

Die letzte Reihe ist gerundet. Die exakten Werte sind:

0,25 | 5,25 | 47,25 | 236,25 | 708,25 | 1275,25 | 1275,25 | 546,75