reelle Polygonfunktion Hyperbel

Question

jhnAufgabe: sei f eine reelle Funktion mit f(x) = a mal x hoch z

a Element aus R* und z Element aus Z

Ergänze durch Ankreuzen den folgenden Text so, dass eine sicher zutreffende Aussage entsteht

Für 1. ist f in 2. streng monoton fallend

     1.                     2.

a>0 und z>0         R

a<0 und z>0         R+    (diese Kombi ist lt. Lösung richtig)

a<0 und z<0         R-

Problem/Ansatz:

das kann ich nicht nachvollziehen, diese Funktion wäre ja für zwei Hyperbeln möglich ut ( ob jetzt z gerade ist oder nicht, steht ja nicht dabei)

1. eine Hyperbel in den Quadranten lll und lV (fallend in R- und steigend in R+, wobei ich bei letzterem nicht weiss, ob die Steigung (Gefälle) an der negativen y-Achse oder der positiven x-Achse ausgerichtet ist)

2. eine Hyperbel in den Quadranten II und IV, (steigend in R + oder R- ?, steigend in R+ oder minus?)

Die Lösung verstehe ich nicht, und ich habe hier überhaupt ein Verständnisproblem

viell kann mir jd. helfen

Answer 1

Aloha :)$$f(x)=a\,x^z\quad;\quad a\in\mathbb{R}^\ast\;;\;z\in\mathbb{Z}$$

1. Fall: \(a>0,z>0\;\;\Rightarrow\;\;f(x) \text{ s.m.f. in }\mathbb{R}\)

Wir wählen \(a=1,z=1\) und erhalten als Funktion \(f(x)=x\) und als Ableitung \(f'(x)=1>0\). Wir haben also eine Funktion gefunden, die in ganz \(\mathbb{R}\) ansteigt. Die Aussage des Falles ist falsch.

2. Fall: \(a<0,z>0\;\;\Rightarrow\;\;f(x) \text{ s.m.f. in }\mathbb{R}^+\)

Wir schauen uns das Vorzeichen der Ableitung für \(x\in\mathbb{R}^+\) an:$$f'(x)=\underbrace{az}_{<0}\,\underbrace{x^{z-1}}_{>0}<0$$Unter den Voraussetzungen des Falles ist die Ableitung über ganz \(\mathbb{R}^+\) negativ, d.h. die Ausage des Falles ist korrekt.

3. Fall: \(a<0,z<0\;\;\Rightarrow\;\;f(x) \text{ s.m.f. in }\mathbb{R}^-\)

Betrachte \(f(x)=(-1)\cdot x^{-1}=-\frac{1}{x}\). Die Ableitung ist \(f'(x)=\frac{1}{x^2}>0\). Wir haben also mit \(a=-1\) und \(z=-1\) eine Funktion gefunden, die in \(\mathbb{R}^-\) ansteigt. Die Ausage des Falles ist falsch.

Nur der 2-te Fall ist korrekt.

Comments

Danke. Hyperbeln war falsch

was ich noch nicht verstehe, wo sich genau R+ im Koordinatensystem  befindet ( Fallbeispiele im Buch nur die sowieso selbsterklärenden mit a>0)

Quadrant I und IV ?

ist Quadrant II dann R- ?

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\(\mathbb{R}^+\) bedeutet ja \(x>0\). Das heißt, alles rechts von der \(y\)-Achse bzw. der 1-te und 4-te Quadrant.

\(\mathbb{R}^-\) bedeutet ja \(x<0\). Das heißt, alles links von der \(y\)-Achse bzw. der 2-te und 3-te Quadrant.

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Super danke, alles geklärt!