Taylorreihe von f(x)=ln(1+x)

Question

Funktion f(x)=ln(1+x) ist gegeben. Warum stellen wir die Entwicklungspunkt gleich Null? Wie wissen wir das?

\( f(0)=0 \) und \( \frac{f^{(k)}(0)}{k !}=\frac{(-1)^{k-1}(k-1) !}{k !}=\frac{(-1)^{k-1}}{k} \) für \( k>0 \)

 

\( \ln (1+x)=\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k} x^{k}=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4} \pm \ldots \)

 Warum ist x zwischen (-1,1] ??

Nachtrag:

Warum konvergiert taylorreihe von f(x)= ln(1+x) für (-1,1] und nicht für -1??

Ich verstehe nicht ...

Comments

Vom Duplikat:

Titel: taylorreihe Für ln(1+x)

Stichworte: taylorreihe,reihen,polynom,taylorpolynom

Hallo

Warum konvergiert taylorreihe von f(x)= ln(1+x) für (-1,1] und nicht für -1??

Ich verstehe nicht ...

Danke

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Answer 1

Für IxI>1 konvergiert die Reihe nicht! (setze z.B. x=2 dann werden die Reihenglieder immer größer.)

x=1: Sonderfall konvergiert nach Leibniz

        (Er hat ein besonderes Konvergenzkrit. für alternierende Reihen gefunden), da

       1. alternierende Reihe (+,- abwechselnd) und

       2. die Beträge der Koeff. sind monoton fallende Nullfolge.(1/2,1/3,1/4 ...→0)

IxI<1: Mache Restgliedabschätzung nach Lagrange(, um zu beweisen, dass die Reihe für IxI<1 konvergiert) !

         IxI^k+1 / (k+1)  → 0 für k→∞, wenn IxI<1        

         Man teilt die Reihe in 2 Abschnitte, von i=0 bis n und von n bis ∞. Die Reihe

        konvergiert, wenn der 2. Abschnitt → 0 geht für n → ∞. Der 2. Abschnitt kann

        als Term dargestellt werden, zB. als "Restglied nach Lagrange".

       https://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel#Restgliedformeln

       Für unsere Reihe gilt:  Lagrange-Restglied → 0, für n→∞.

Comments

@Hemlus Ich habe nicht gut verstanden. Kannst du bitte ausführlicher erklären?

Danke

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Jetzt klarer? Sag, welche Zeile noch Schwierigkeiten macht!

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@Helmus danke. Wie hast du hier z.b. nach x=1 gesucht. Also wie hast du verstanden dass die reihe konv. Für x<1 und nicht z.b 2. das ist meine frage!

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Nachprüfen, ob es mit Zahlen> 1 geht. Die Konvergenz endet oft bei 1 (Erfahrung, guck mal in Formelsammlungen!).

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Ähh, siehst Du die Divergenz für x=2?

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Jetzt hab ich verstanden. Vielen dank

Answer 2

Mit x=1: \(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k-1}}{k}\cdot  1^{k} = \displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k-1}}{k} = -\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k}}{k} = \ln 2\) (konvergent nach Leibnitzk.)

Mit x=-1: \(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k-1}}{k}\cdot (-1)^{k} = \displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{-1}{k} = - \displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k}\) (harmonische Reihe; divergent)