Beweis Injektivität oder Surjektiviät durch die Determinante bzw Kern

Question

Aufgabe:

Helloo,

gibt es eine einfache Formel, die man anwenden kann, um herauszufinden, ob eine Matrix Injektiv oder Surjektiv ist?

Problem/Ansatz:

ich dachte, dass wenn die Determinante ≠ 0 ist, ist die Matrix surjektiv. Bin mir aber nicht ganz sicher.

Gibt es sonst noch eine Möglichkeit, das mit dem Kern auszurechnen?

Answer 1

Aloha :)

Rang der Matrix = Anzahl der Spalten \(\Leftrightarrow\) Abbildungs-Matrix ist injektiv.

Rang der Matrix = Anzahl der Zeilen \(\Leftrightarrow\) Abbildungs-Matrix ist surjektiv.

Kern der Matrix = 0 \(\Leftrightarrow\) Abbildungs-Matrix ist injektiv.

Bei quadratischen Abbildungs-Matrizen folgt aus der Surjketivität die Injektivitiät und umgekehrt aus der Injektivität die Surjektivität.

Wenn die Determinante einer quadratischen Matrix \(\ne0\) ist, kann man die Matrix invertieren, also gibt es eine Umkehrabbildung. Die Abbildungs-Matrix ist dann bijektiv. Das gilt auch umgekehrt.

Comments

Schön zusammengefasst.

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daankee, ist perfekt zsmgefasst :)

aber wie genau invertiere ich nochmal die Matrizen?

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Zum Invertieren einer Matrix M schreibst du neben die Matrix M eine Einheitsmatrix E derselben Größe. Dann bringst du die Matrix M durch elementare Zeilen- oder Spaltenumformungen auf die Form der Einheitsmatrix. Parallel dazu führst du exakt dieselben Zeilen- oder Spaltenumformungen an der Einheitsmatrix E durch. Am Ende ist aus der Matrix M die Einheitsmatrix geworden und aus der Matrix E die Inverse zu M.

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alles klar daanke, aber ist das Inverse und die Invertierte dasselbe?

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Ja, die Inverse, die Invertierte, die inverse Matrix... Das ist so wie Stundenten, Studierende, Student:innen... meint alles dasselbe ;)