Ein Übertragungssystem auf Linearität überprüfen.

Question

Aufgabe:

Das Übertragungssystem (Eingang u, Ausgang y) soll auf LInearität überprüft werden.

z.B. y(t) = tu²(t)

leider verstehe ich das nicht wirklich...

Laut Skript ist die Formel folgende zur überprüfung der Linearität...

S{k1u1(t) + k2u2(t)} = k1S{u1(t)} + k2S{u2(t)}

Kann mir jemand sagen wie ich da sozusagen mit der oben genannten Gleichung vorgehe?

freue mich über Hilfe. Scheinbar kann man das auch über Schaubilder des Systemes lösen...?!

Answer 1

Aloha :)

\(y(t)\) ist genau dann linear, wenn gilt:$$1)\quad f(t_1+t_2)=f(t_1)+f(t_2)$$$$2)\quad f(a\cdot t)=a\cdot f(t)$$

Diese beiden Eigenschaften kannst du auch zusammenfassen:$$1+2)\quad f(a\cdot t_1+b\cdot t_2)=a\cdot f(t_1)+b\cdot f(t_2)$$Die zusammengefasste Variante ist oft mehr Schreibarbeit, deswegen bevorzuge ich persönlich die erste Variante und zeige halt beide Eigenschaften getrennt. Aber das ist Geschmackssache.

Ob deine Funktion \(y(t)=t\cdot u^2(t)\) linear ist, lässt sich ohne Kennntis von \(u^2(t)\) nicht sagen.

Comments

also laut der lösung soll es "Nicht linear" sein... leider kann ich das nicht verstehen, wie man darauf kommt.

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Das \(u^2(t)\) macht dir die Linearität kaputt, nur in ganz besonderen Fällen wäre die Funktion dann linear. Tun wir mal so, als wüssten wir nichts über die \(u\)-Funktion und prüfen einfach mal die Forderung 1) ab:

$$y(t_1+t_2)=(t_1+t_2)\,u^2(t_1+t_2)$$$$\phantom{y(t_1+t_2)}=t_1\,u^2(t_1+t_2)+t_2\,u^2(t_1+t_2)$$$$\phantom{y(t_1+t_2)}\ne t_1\,u^2(t_1)+t_2\,u^2(t_2)$$Wenn z.B. \(u(t)=\text{const.}\) wäre, wäre \(u(t_1+t_2)=u(t_1)=u(t_2)\) und die Funktion \(y(t)\) wäre linear. Im allgemenen Fall für beliebige \(u(t)\) ist \(y(t)\) aber nicht linear.

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ich habe leider keine AHnung wie ich das immer betrachten bzw. behandeln muss.. also ich habe ja y(t)=t u²(t) wie setze ich diese z.B. in die von mir genannte GLeichung ein?

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Hmmm, das habe ich doch gerade vorgemacht, aber anscheinend nicht gut veranschaulicht. Ich probiers nochmal:

$$\left.y(t)=t\cdot u^2(t)\quad\right|\;t=t_1+t_2$$$$\left.y(t_1+t_2)=(t_1+t_2)\cdot u^2(t_1+t_2)\quad\right|\;\text{1. Klammer ausrechnen}$$$$\left.\underline{y(t_1+t_2)=t_1\cdot u^2(t_1+t_2)+t_2\cdot u^2(t_1+t_2)}\quad\right.$$Mehr können wir nicht vereinfachen. Wir wissen also jetzt, wie \(y(t_1+t_2)\) aussieht.

Wir prüfen, wie \(y(t_1)+y(t_2)\) aussieht:$$\underline{y(t_1)+y(t_2)=t_1\cdot u^2(t_1)+t_2\cdot u^2(t_2)}$$Wenn die Funktion \(y(t)\) linear wäre, müsste gelten:$$y(t_1+t_2)=y(t_1)+y(t_2)$$Für Linearität müssten die beiden rechten Seiten der unterstrichenen Gleichungen identisch sein. Da die rechten Seiten jedoch unterschiedlich sind, ist die Funktion \(y(t)\) nicht linear.