Funktionstermbestimmung: Nullstelle hat die Steigung 2

Question

Aufgabe:

Das Schaubild einer Funktion f ist eine Parabel 4 Ordnung, die im Ursprung einen Sattelpunkt besitzt und die x-Achse bei x= -4 schneidet. In dieser Nullstelle hat sie die Steigung 2. Geben sie die Gleichung für das Schaubild an.

Problem/Ansatz:

Bei den Makierten verstehe ich nicht, was damit gemeint ist. Muss man dafür in die Ausgangsgleichung, oder und in die erste Ableitung, oder und in die dritte Ableitung einsetzen ?

Answer 1

Im Ursprung einen Sattelpunkt bedeutet es gibt den Punkt (0/0), f'(0)=0 und f"(0)=0.

Answer 2

Das Schaubild einer Funktion f ist eine Parabel 4. Ordnung, die im Ursprung einen Sattelpunkt besitzt und die x-Achse bei \(x= -4\) schneidet. In dieser Nullstelle  hat sie die Steigung 2. Geben sie die Gleichung für das Schaubild an.

...im Ursprung einen Sattelpunkt bedeutet Dreifachnullstelle

...und die x-Achse bei \(x= -4\) schneidet  bedeutet Einfachnullstelle

Nullstellenform:

\(f(x)=ax^3(x+4)=a(x^4+4x^3)\)

...Steigung an der Stelle \(x= -4\) die Steigung \(m=2\)→1.Ableitung

\(f'(x)=a(4x^3+12x^2)\)

\(f'(-4)=a(4\cdot (-64)+12\cdot 16)=-64a=2\)

\(a=-\frac{1}{32}\)

\(f(x)=-\frac{1}{32}(x^4+4x^3)\)